https://wiki.mattekollen.se/index.php?action=history&feed=atom&title=1.2_L%C3%B6sning_13
1.2 Lösning 13 - Versionshistorik
2026-11-05T12:34:58Z
Versionshistorik för denna sida på wikin
MediaWiki 1.23.1
https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=1.2_L%C3%B6sning_13&diff=13850&oldid=prev
Taifun den 2 september 2014 kl. 14.35
2014-09-02T14:35:04Z
<p></p>
<p><b>Ny sida</b></p><div>'''Påstående''':<br />
Om <math> P(x) = x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:<br />
<br />
::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math><br />
<br />
'''Bevis''':<br />
<br />
Nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> till <math> P(x) \, </math> är lösningar till ekvationen:<br />
<br />
:<math> x^2 + p\,x + q = 0 </math><br />
<br />
För dem gäller p-q-formeln:<br />
<br />
:<math>x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} = a_1 \pm a_2 </math><br />
<br />
där <math> a_1\, </math> och <math> a_2\, </math> är nya beteckningar:<br />
<br />
:<math> a_1 = -\frac{p}{2} \quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \quad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} </math><br />
<br />
Vi sätter in <math> x_1 = a_1 + a_2\, </math> och <math> x_2 = a_1 - a_2\, </math> i högerledet av påståendet och får vänsterledet:<br />
<br />
:<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = </math><br />
<br />
:<math> = ([x - a_1] - a_2) \cdot ([x - a_1] + a_2)\,=\,[x - a_1]^2 \, - \, a_2^2\,=\,x^2\,-\,2\,a_1\,x\,+\,a_1\,^2\,-\,a_2\,^2 = </math><br />
<br />
:<math> =\, x^2\,-\,2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right) \cdot x\,+\,\frac{p^2}{4}\,-\,\left(\frac{p^2}{4} - q\right)\,=\,x^2\,+\,p\,x\,+\,q </math></div>
Taifun