Taifun den 19 september 2012 kl. 14.43

2012-09-19T14:43:50Z

Ny sida

Dubbelroten <math> x = -1\,</math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>

där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter a, b och c vi får bestämma:

<math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>

Detta ger följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) </math>

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

<math> \begin{align} & x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\
& = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\
& = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (c+2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c
\end{align}</math>

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

<math> \begin{align} a & = 1 \\
b + 2\,a & = -7 \\
c + 2\,b + a & = 3 \\
2\,c +b & = 31 \\
c & = 20
\end{align}</math>

Genom insättning av <math> a = 1\, </math> i den andra ekvationen får vi:

<math> \begin{align} b + 2\cdot 1 & = -7 \\
b + 2 & = -7 \\
b & = -9
\end{align}</math>

Genom insättning av <math> b = -9\, </math> i den tredje får vi:

<math> \begin{align} c + 2\cdot(-9) + 1 & = 3 \\
c - 18 + 1 & = 3 \\
c - 17 & = 3 \\
c & = 20
\end{align}</math>

Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat:

<math> \begin{align} 2\cdot 20 + (-9) & = 31 \\
40 - 9 & = 31
\end{align}</math>

Och det gör även den femte ekvationen: <math> c = 20\, </math>

Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:

<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>

Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>

1.3 Lösning 11a - Versionshistorik

Taifun den 19 september 2012 kl. 14.43