Taifun den 22 september 2012 kl. 17.02

2012-09-22T17:02:28Z

Ny sida

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>

I 11 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:

<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>

Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>

För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:

<math> x^2 - 9\,x + 20 = 0 </math>

Vietas formler ger :

<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\
x_1 \cdot x_2 & = 20
\end{align}</math>

Det är enkelt att få lösningarna <math> x_1 = 4\, </math> och <math> x_2 = 5\, </math> ur dessa relationer.

Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:

<math> Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) </math>

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) </math>

får vi följande fullständig faktorisering av 4:e gradspolynomet:

<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) </math>

1.3 Lösning 11b - Versionshistorik

Taifun den 22 september 2012 kl. 17.02