Taifun den 29 september 2014 kl. 10.51

2014-09-29T10:51:17Z

Ny sida

Att polynomet <math> P(x)\,</math> har två nollställen <math> a\, </math> och <math> -a\, </math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:

:<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
& = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
\end{align} </math>

där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:

:<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>

Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här:

:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

:<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
& = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\
& = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d
\end{align}</math>

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

:<math> \begin{align} b & = 1 \\
c & = 3 \\
d + a^2\,b & = -7 \\
- a^2\,c & = -27 \\
- a^2\,d & = -18
\end{align}</math>

Genom insättning av <math> c = 3\, </math> i den 4:e ekvationen får vi:

:<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\
a^2 & = {27 \over 3} \\
a^2 & = 9 \\
a & = 3
\end{align}</math>

Genom insättning av <math> a = 3\, </math> i den sista ekvationen får vi:

<math> \begin{align} - 3^2\,d & = -18 \\
- 9\,d & = -18 \\
d & = 2
\end{align}</math>

De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:

:<math> \begin{align} a & = 3 \\
b & = 1 \\
c & = 3 \\
d & = 2
\end{align}</math>

Polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp <math> a=3\, </math>, men olika förtecken, blir då:

:<math> \begin{align} x_1 & = 3 \\
x_2 & = -3 \\
\end{align}</math>

Och polynomet <math> Q(x)\, </math> blir:

<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>

Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> skrivas så här:

<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>

1.3 Lösning 12a - Versionshistorik

Taifun den 29 september 2014 kl. 10.51