Taifun den 14 oktober 2011 kl. 13.04

2011-10-14T13:04:49Z

Ny sida

För att faktorisera polynomet <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> beräknar vi dess nollställen:

<math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 </math>

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform:

<math>\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 49 \\
z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0 \\
z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0 \\
\end{align}</math>

Normalformen ger Vietas formler:

<math> \begin{align} z_1 + z_2 & = - {2\over 7} \\
z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49}
\end{align}</math>

Man hittar dubbelroten <math> z = - {1\over 7}\,</math> eller, om man så vill, "lösningarna" <math> z_1 = - {1\over 7}\,</math> och <math> z_2 = - {1\over 7}\,</math> eftersom

<math> \begin{align} (- {1\over 7}) + (- {1\over 7}) & = - {1\over 7} - {1\over 7} = - {2\over 7} \\
(-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49}
\end{align}</math>

Därför har normalformen <math> z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} </math> faktoriseringen <math> \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) </math> och därmed det ursprungliga polynomet <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> följande faktorisering:

<math> 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = </math>

::::::<math> = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) = (7\,z+1)^2 </math>

Kontroll:

<math> (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math> enligt kvadreringsregeln.

1.3 Lösning 8c - Versionshistorik

Taifun den 14 oktober 2011 kl. 13.04