https://wiki.mattekollen.se/index.php?action=history&feed=atom&title=1.5a_L%C3%B6sning_11 2026-11-05T12:35:14Z Versionshistorik för denna sida på wikin MediaWiki 1.23.1 https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=1.5a_L%C3%B6sning_11&diff=14000&oldid=prev 2014-09-05T12:24:44Z

<p></p> <p><b>Ny sida</b></p><div>&lt;u&gt;'''Påstående''':&lt;/u&gt; &lt;big&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&lt;/big&gt; &lt;math&gt; \displaystyle F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 &lt;/math&gt;<br /> <br /> där &lt;math&gt; F(n) \, &lt;/math&gt; är Fibonaccis funktion:<br /> <br /> ::&lt;math&gt; F(n) \, = \, \begin{cases} 1 &amp; \mbox{om } n = 1 \\<br /> 1 &amp; \mbox{om } n = 2\; \\<br /> F(n-1) + F(n-2) &amp; \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots<br /> \end{cases}<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &lt;u&gt;'''Bevis''':&lt;/u&gt; Vi visar påståendet för &lt;math&gt; n = 1 &lt;/math&gt;:<br /> <br /> :&lt;math&gt; F(1)\;=\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1\over 2}+{\sqrt{5}\over 2}\right)\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1\over 2}-{\sqrt{5}\over 2}\right) = &lt;/math&gt;<br /> <br /> :::&lt;math&gt; =\;{1 \over 2\,\sqrt{5}}\;+\;{1\over 2}\;-\;{1 \over 2\,\sqrt{5}}\;+\;{1\over 2}\;=\;1 &lt;/math&gt;<br /> <br /> Vi visar påståendet för &lt;math&gt; n = 2 &lt;/math&gt;:<br /> <br /> :&lt;math&gt; F(2)\;=\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^2\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^2 =\;{1\over 4\,\sqrt{5}}\,({1+\sqrt{5}})^2\;-\;{1\over 4\,\sqrt{5}}\,({1-\sqrt{5}})^2\;= &lt;/math&gt;<br /> <br /> :::&lt;math&gt; =\;{1\over 4\,\sqrt{5}}\,\left[(1+\sqrt{5})^2\;-\;(1-\sqrt{5})^2\right]\;= \;{1\over 4\,\sqrt{5}}\,[1+2\,\sqrt{5}+5\;-\;(1-2\,\sqrt{5}+5)]\;=\;1 &lt;/math&gt;<br /> <br /> För att visa påståendet för godtyckliga &lt;math&gt; n\, &lt;/math&gt; inför vi nya beteckningar:<br /> <br /> :&lt;math&gt; c_1 = {1\over\sqrt{5}} \qquad\qquad\qquad\quad c_2 = -\,{1\over\sqrt{5}} &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; r_1 = {1\,+\,\sqrt{5}\over 2} \qquad\qquad\; {\color{White} x} r_2 = {1\,-\,\sqrt{5}\over 2} &lt;/math&gt;<br /> <br /> Då får påståendet följande form:<br /> <br /> :::&lt;math&gt; F(n) \, = \, c_1\:r_1\,^n\;+\;c_2\:r_2\,^n &lt;/math&gt;<br /> <br /> Vi bildar med denna form &lt;math&gt; F(n-1) \, &lt;/math&gt; och &lt;math&gt; F(n-2) \, &lt;/math&gt; och visar Fibonaccis rekursionsformel:<br /> <br /> :::&lt;math&gt; F(n) = F(n-1) + F(n-2)\, &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; F(n-1)\,=\,c_1\:r_1\,^{n-1}\;+\;c_2\:r_2\,^{n-1}\,=\,c_1\:r_1^n\,r_1^{-1}\;+\;c_2\:r_2^n\,r_2^{-1} \,=\,c_1\:r_1^n\,{1\over r_1}\;+\;c_2\:r_2^n\,{1\over r_2} &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; F(n-2)\,=\,c_1\:r_1\,^{n-2}\;+\;c_2\:r_2\,^{n-2}\,=\,c_1\:r_1^n\,r_1^{-2}\;+\;c_2\:r_2^n\,r_2^{-2} \,=\,c_1\:r_1^n\,{1\over r_1^2}\;+\;c_2\:r_2^n\,{1\over r_2^2} &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; F(n-1) + F(n-2) \,=\, c_1\:r_1^n\,{1\over r_1}\,+\,c_2\:r_2^n\,{1\over r_2}\;+\;c_1\:r_1^n\,{1\over r_1^2}\,+\,c_2\:r_2^n\,{1\over r_2^2} \,=\, &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; \,=\, c_1\:r_1^n\,\left({1\over r_1}+{1\over r_1^2}\right) \,+\, c_2\:r_2^n\,\left({1\over r_2}+{1\over r_2^2}\right) \, = \, c_1\:r_1^n\;+\;c_2\:r_2^n \, = \, F(n) \; {\rm , \; därför\;att:} &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; {1\over r_1} + {1\over r_1^2} = {2 \over 1+\sqrt{5}} + {4 \over (1+\,\sqrt{5})^2} = {2(1+\sqrt{5}) + 4 \over (1+\sqrt{5})^2} = {6+2\,\sqrt{5} \over 1+2\sqrt{5}+5} = {6+2\,\sqrt{5} \over 6+2\sqrt{5}} = 1 &lt;/math&gt;<br /> <br /> :&lt;math&gt; {1\over r_2} + {1\over r_2^2} = {2 \over 1-\sqrt{5}} + {4 \over (1-\,\sqrt{5})^2} = {2(1-\sqrt{5}) + 4 \over (1-\sqrt{5})^2} = {6-2\,\sqrt{5} \over 1-2\sqrt{5}+5} = {6-2\,\sqrt{5} \over 6-2\sqrt{5}} = 1 &lt;/math&gt;</div>

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