Taifun den 30 september 2014 kl. 11.50

2014-09-30T11:50:45Z

Ny sida

Faktoriserar täljaren <math> {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} </math>:

::<math> \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\
x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
x & = & 1
\end{array}</math>
Således:
:<math> \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } & \\
& = & (x-1) \; \cdot \; (\; a\,x^2 \; + \; b\,x \; + \; c\; ) & = \\
& = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - a\,x^2 - b\,x - c & = \\
1\cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0\cdot x - 1 & = & a\,x^3 + (b-a)\,x^2 + (c-b)\,x - c &
\end{array}</math>

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

:<math> \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\
b-a & = & 0 \\
c-b & = & 0 \\
c & = & 1
\end{array}</math>

Genom insättning av <math> a = 1\, </math> i den 2:a ekvationen får vi:

:<math> \begin{array}{rcl} b-1 & = & 0 \\
b & = & 1
\end{array}</math>

Den 3:e ekvationen bekräftar resultaten.

Därmed blir faktoriseringen av <math> {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} </math>:

:<math> x^3\,-\,1 \, = \, (x-1) \cdot (x^2 \, + \, x \, + \, 1)</math>

----

Faktoriserar nämnaren <math> {\color{White} x} x^2\,-\,6\,x\,+\,5 {\color{White} x} </math>:

:<math> x^2\,-\,6\,x\,+\,5 = 0 </math>

Vietas formler:

:<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-6) = 6 \\
x_1 \cdot x_2 & = 5
\end{align}</math>

Man hittar lösningarna:

::<math> \begin{align} x_1 & = 1 \\
x_2 & = 5
\end{align}</math>

eftersom <math> 1 + 5 = 6 </math> och <math> 1 \cdot 5 = 5 </math>.

Därmed blir faktoriseringen av <math> {\color{White} x} x^2\,-\,6\,x\,+\,5 {\color{White} x} </math>:

:<math> x^2\,-\,6\,x\,+\,5 \, = \, (x-1) \cdot (x-5) </math>

----

Beräknar gränsvärdet:

:<math> \lim_{x \to 1}\,{x^3-1 \over x^2-6x+5} = \lim_{x \to 1}\,{(x-1) \cdot (x^2 + x + 1) \over (x-1) \cdot (x-5)} = \lim_{x \to 1}\,{x^2 + x + 1 \over x-5} = {1 + 1 + 1 \over 1-5} = - {3 \over 4} </math>

2.3a Lösning 10a - Versionshistorik

Taifun den 30 september 2014 kl. 11.50