https://wiki.mattekollen.se/index.php?action=history&feed=atom&title=2.3a_L%C3%B6sning_11
2.3a Lösning 11 - Versionshistorik
2026-11-05T10:40:14Z
Versionshistorik för denna sida på wikin
MediaWiki 1.23.1
https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=2.3a_L%C3%B6sning_11&diff=15468&oldid=prev
Taifun den 30 september 2014 kl. 11.24
2014-09-30T11:24:45Z
<p></p>
<p><b>Ny sida</b></p><div>Vi förenklar uttrycket i limes först genom att förlänga det med konjugatet:<br />
<br />
:<math> x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x} \,=\, {(x - \sqrt{x^2 - x}) \cdot (x + \sqrt{x^2 - x}) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x^2 - (x^2 - x) \over x + \sqrt{x^2 - x}} \,=\, {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} </math><br />
<br />
Sedan fortsätter vi med att förenkla uttrycket genom att förkorta det med <math> x \, </math>:<br />
<br />
:<math> \begin{array}{rcl} {x \over x + \sqrt{x^2 - x}} & = & {x/x \over x/x + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x} \over x}} }\,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ {\sqrt{x^2 - x\over x^2} }} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{{x^2 \over x^2} - {x \over x^2} }} } \,=\, \\<br />
& = & {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } <br />
\end{array}</math><br />
<br />
Nu kan vi beräkna gränsvärdet:<br />
<br />
:<math> \lim_{x \to \infty}\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \,=\, \lim_{x \to \infty}\,{1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - {1 \over x}}} } \,=\, {1 \over 1 + \displaystyle{ \sqrt{1 - 0}} } \,=\, {1 \over 2} </math></div>
Taifun