Taifun den 1 december 2014 kl. 12.28

2014-12-01T12:28:25Z

Ny sida

Beröringspunkten <math> (5, -6)\, </math> ligger på kurvan:

:<math> y = f(x) = a\,x^2 + b\,x </math>

Vi sätter in beröringspunktens koordinater i kurvans ekvation:

:<math> -6 = a \cdot 5^2 + b \cdot 5 </math>

Vi får följande ekvation med <math> a\, </math> och <math> b\, </math> som obekanta:

:<math> {\rm (I)} \qquad\qquad 25\,a \,+\, 5\,b \,=\, -6 </math>

Å andra sidan har tangenten i beröringspunkten <math> (5, -6)\, </math> lutningen <math> 4\, </math>. Detta innebär att kurvan i denna punkt har derivatan <math> 4\, </math>, dvs <math> f\,'(5) = 4 </math>. Därför bildar vi derivatan och använder denna information.
:<math>\begin{array}{rcl} f\,'(x) & = & 2\,a\,x + b \\
f\,'(5) & = & 2\,a \cdot 5 + b & = & 4 \\
& = & 10\,a + b & = & 4 \\
\end{array}</math>
Vi får en till ekvation med <math> a\, </math> och <math> b\, </math> som obekanta:

:<math> {\rm (II)} \qquad\qquad 10\,a \,+\, b \,=\, 4 </math>

Ekvationssystemet <math> {\rm (I)\,/\,(II)} </math> löser vi med Additionsmetoden (Matte 2):

:<math>\begin{array}{lrcr} {\rm (I)} & \qquad\qquad 25\,a \,+\, 5\,b & = & -6 \\
{\rm (II)} & \qquad\qquad 10\,a \,+\, b & = & 4
\end{array}</math>

Vi multiplicerar ekvation <math> {\rm (II)} </math> med <math> 5\, </math> och drar den av från ekvation <math> {\rm (I)} </math>:

:<math>\begin{array}{lrcr} {\rm (I)} & \;\, 25\,a \,+\, 5\,b & = & -6 \\
5 \cdot {\rm (II)} & \;\, 50\,a \,+\, 5\,b & = & 20 \\
5 \cdot {\rm (II)} - {\rm (I)} & \;\, 25\,a \,+\, 0 & = & 26 \\
& \;\, a & = & {26 \over 25} \\
& \;\, a & = & 1,04
\end{array}</math>

Detta resultat sätts in i ekvation <math> {\rm (II)} </math> för att få <math> b\, </math>:

:<math>\begin{array}{lrcl} {\rm (II)} & \qquad\;\, 10 \cdot 1,04 \,+\, b & = & 4 \\
& \qquad\;\, 10,4 \,+\, b & = & 4 \\
& \qquad\;\, b & = & 4 - 10,4 \\
& \qquad\;\, b & = & -6,4
\end{array}</math>

Kurvan <math> {\color{White} x} y = 1,04\,x^2 - 6,4\,x {\color{White} x} </math> har i punkten <math> (5, -6)\, </math> en tangent med lutningen <math> \,4 </math> .

2.4 Lösning 9 - Versionshistorik

Taifun den 1 december 2014 kl. 12.28