2.5 Deriveringsregler - Versionshistorik

Taifun den 27 maj 2015 kl. 12.35

2015-05-27T12:35:21Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 20.28

2015-05-17T20:28:30Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 20.27

2015-05-17T20:27:46Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 19.43

2015-05-17T19:43:58Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 16.24

2015-05-17T16:24:27Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 16.21

2015-05-17T16:21:03Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 16.17

2015-05-17T16:17:32Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 16.03

2015-05-17T16:03:40Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 15.58

2015-05-17T15:58:56Z

Taifun den 17 maj 2015 kl. 15.49

2015-05-17T15:49:03Z

@@ Rad 124: / Rad 124: @@
 '''Viktigt specialfall:''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math>
-<div class="border-div2"><big>
+<div class="border-divblue"><big>
 <b>Derivatan av en potens:</b>

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
 [[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
-__TOC__  <!-- __TOC__ -->
+__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
 [[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
-__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
+__TOC__  <!-- __TOC__ -->
 <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].

← Äldre version		Versionen från 17 maj 2015 kl. 19.43
Rad 172:		Rad 172:
	:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>		:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
	</div> <!-- exempel5 -->		</div> <!-- exempel5 -->
−
−
−	~~<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->~~
−	:Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
−	~~</div> <!-- tolv4 -->~~

@@ Rad 283: / Rad 283: @@
 == <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
+<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
@@ Rad 290: / Rad 290: @@
 '''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
+</div> <!-- tolv7 -->
 <div class="exempel"> <!-- exempel9 -->
 :'''Exempel:'''
@@ Rad 306: / Rad 306: @@
 '''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
+</div> <!-- tolv8 -->
 <div class="exempel"> <!-- exempel10 -->
 :'''Exempel:'''

@@ Rad 257: / Rad 257: @@
 Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 </div> <!-- tolv5 -->
 '''Regel:'''
@@ Rad 287: / Rad 288: @@
 Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
-<div class="exempel"> <!-- exempel9 -->
 '''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
 :'''Exempel:'''
@@ Rad 301: / Rad 303: @@
 :::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 '''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
 :'''Exempel:'''
@@ Rad 313: / Rad 318: @@
 :::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
-</div> <!-- exempel9 -->
+</div> <!-- exempel10 -->

@@ Rad 243: / Rad 243: @@
-== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
+== <b><span style="color:#931136">Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?</span></b> ==
+<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
 I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
@@ Rad 256: / Rad 256: @@
 Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 '''Regel:'''
@@ Rad 285: / Rad 286: @@
 Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
-−
 '''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
@@ Rad 302: / Rad 304: @@
 '''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
 :'''Exempel:'''
@@ Rad 315: / Rad 316: @@
-<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
 Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
-</div> <!-- tolv5 -->
+</div> <!-- tolv6 -->
 == <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
 Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
@@ Rad 357: / Rad 358: @@
 Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
-</div> <!-- tolv6 -->
+</div> <!-- tolv7 -->

@@ Rad 261: / Rad 261: @@
 <b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
-Om <math> {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
+Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
-då <math> {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
+då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 </big></div>
@@ Rad 270: / Rad 270: @@
 '''Exempel:'''
-För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
+För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
-:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
+:::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
 Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:

@@ Rad 212: / Rad 212: @@
 :::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
 Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
-== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
+== <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> ==
 '''Regel:'''
@@ Rad 230: / Rad 230: @@
 '''Exempel''':
@@ Rad 239: / Rad 240: @@
 ::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
-== Konstant faktor vs. additiv konstant ==
+== <b><span style="color:#931136">Konstant faktor vs. additiv konstant</span></b> ==
 I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
@@ Rad 265: / Rad 267: @@
 '''Exempel:'''
@@ Rad 274: / Rad 277: @@
 :::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
-== Produkt och kvot av funktioner ==
+== <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> ==
 Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
@@ Rad 298: / Rad 302: @@
 '''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
 :'''Exempel:'''
@@ Rad 307: / Rad 312: @@
 :::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
-== Tabell över deriveringsregler ==
+== <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> ==
 Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
@@ Rad 347: / Rad 357: @@
 Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
+</div> <!-- tolv6 -->
-−

@@ Rad 176: / Rad 176: @@
 <div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 :Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
-</div>> <!-- tolv4 -->
+</div> <!-- tolv4 -->
@@ Rad 212: / Rad 212: @@
 :::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
-</div>> <!-- exempel6 -->
+</div> <!-- exempel6 -->
 Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].