Taifun den 15 maj 2011 kl. 12.24

2011-05-15T12:24:47Z

Ny sida

Tangentens lutning i punkten <math> x = 0\, </math> är lika med kurvans lutning i denna punkt, dvs funktionen <math> f(x) = 2^x\, </math>:s derivata i punkten <math> x = 0\, </math>. Därför bildar vi derivatan:

::<math> f(x) = 2\,^x </math>

::<math> f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 </math>

Och sätter in <math> 0\, </math> för <math> x\, </math> i derivatan:

::<math> f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 </math>

<math> \ln 2\, </math> är funktionens derivata i punkten <math> x = 0\, </math> och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:

::<math> y = k\cdot x + m </math>

::<math> y = (\ln 2)\cdot x + m\, </math>

Tangeringspunktens <math> x\, </math>-koordinat är <math> 0\, </math>. Dess <math> y\, </math>-koordinat blir <math> f(0) = 2\,^0 = 1 </math> eftersom kurvan går igenom tangeringspunkten. Alltså har tangeringspunkten koordinaterna <math> (0, 1)\, </math>.

För att bestämma <math> m\, </math> sätter vi i denna ekvation <math> 0\, </math> för <math> x\, </math> och
<math> 1\, </math> för <math> y\, </math> eftersom tangenten går igenom tangeringspunkten <math> (0, 1)\, </math>:

::<math> 1 = (\ln 2)\cdot 0 + m\, </math>

::<math> 1 = m\, </math>

Alltså blir tangentens ekvation:

::<math> y = (\ln 2)\cdot x + 1\, </math>

::<math> y = 0,6931471806\cdots\;x + 1\, </math>

2.5 Lösning 4 - Versionshistorik

Taifun den 15 maj 2011 kl. 12.24