Taifun den 1 november 2014 kl. 15.30

2014-11-01T15:30:03Z

Ny sida

Vi bestämmer <math> C \, </math>:

:<math> \begin{array}{rcl} B\,(t) & = & C \cdot e\,^{k\,t}
\end{array}</math>

"I början mättes <math> 150\, </math> bakterier i mjölken" innebär:

:<math> \begin{array}{rcrcl} B(0) & = & C \cdot e\,^{k\,\cdot\, 0} & = & 150 \\
& & C \cdot e\,^{0} & = & 150 \\
& & C \cdot 1 & = & 150 \\
& & C & = & 150
\end{array}</math>

Vi bestämmer <math> k \, </math>:

:<math> \begin{array}{rclcl} B\,(t) & = & 150 \cdot e\,^{k\,t} & & \\
B\,'(t) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} & & \\
\end{array}</math>

"Efter <math> 8\, </math> timmar förökar sig bakterierna med <math> 350\, </math> i timmen" innebär:

:<math> \begin{array}{rcrcl} B\,'(8) & = & 150 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\, 8} & = & 350 \\
& & 150 \cdot k \cdot e\,^{8\,k} & = & 350 \\
& & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {350 \over 150} \\
& & k \cdot e\,^{8\,k} & = & {7 \over 3}
\end{array}</math>

För att lösa ekvationen ovan för <math> k\, </math> används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y \,=\, x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx 0,3 </math> .

Enligt instruktionerna i [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#EQUATION_SOLVER|EQUATION SOLVER]] får vi med detta startvärde följande lösning till ekvationen <math> x \cdot e\,^{8\,x} \,-\, {7 \over 3} \,=\, 0 </math>:

::::::<math> x \,=\, 0,2697122\ldots \,=\, k </math>

Med detta värde för <math> k\, </math> specificerar vi vår modell för bakteriernas tillväxt:

::::::<math> B\,(t) \, = \, 150 \, e\,^{0,2697122\,t} </math>

"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier nått <math> 2\,000 </math>?" innebär att lösa följande ekvation för <math> t\, </math> :

::::::<math> 150 \, e\,^{0,2697122\,t} \, = \, 2\,000 </math>

Grafräknaren används. Ett startvärde erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y \,=\, 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx 10 </math>. Med detta startvärde får vi i räknarens [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#EQUATION_SOLVER|EQUATION SOLVER]] följande lösning till ekvationen <math> 150\, e\,^{0,2697122\,x} \,-\, 2\,000 \,=\, 0 </math>:

::::::<math> x \,=\, 9,603819\ldots </math>

"Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit <math> 2\,000 </math>?" innebär att ange tiden <math> t\, </math> t.ex. med

::::::<math> t \,=\, 9,60382 \;\, {\rm timmar} </math>

Den decimala bråkdelen omvandlas från timmar till minuter:

<math> t = 9,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382\;{\rm h } \;=\; 9\;{\rm h } + 0,60382 \cdot 60 \; {\rm min } \;=\; 9\;{\rm h } + 36,23 \; {\rm min } </math>

Antalet bakterier har säkert överstigit <math> 2\,000 </math> och mjölken har blivit sur efter

::::::<math> 9\;{\rm timmar\;och\;} 37\;{\rm minuter} </math>

2.5 Lösning 7 - Versionshistorik

Taifun den 1 november 2014 kl. 15.30