Taifun den 2 december 2014 kl. 12.21

2014-12-02T12:21:30Z

Ny sida

Från a) vet vi att derivatan

:<math> f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 </math>

har två nollställen <math> \, x_1 = 1 \, </math> och <math> \, x_2 = 5 \, </math>.

Teckenstudium kring

* nollstället <math> \, x_1 = 1 \, </math>:

::<math> f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math>

::<math> f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math>

* nollstället <math> \, x_2 = 5 \, </math>:

::<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math>

::<math> f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math>

Vi inför resultaten i en teckentabell:

<table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;">
<tr>
<td><math>x</math></td>
<td> </td>
<td><math>1</math></td>
<td> </td>
<td><math>5</math></td>
<td> </td>
</tr>
<tr>
<td><math> f\,'(x) </math></td>
<td><math>-</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>-</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> f(x) </math></td>
<td> <big><big>↘</big></big> </td>
<td> </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
<td> </td>
<td> <big><big>↘</big></big> </td>
</tr>
</table>

Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|reglerna om växande och avtagande]] dra slutsatserna:

      För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande.

      I intervallet <math> {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> växande.

      För alla  <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande.

3.1 Lösning 4b - Versionshistorik

Taifun den 2 december 2014 kl. 12.21