Taifun den 5 december 2014 kl. 00.30

2014-12-05T00:30:07Z

Ny sida

Från c) vet vi att derivatan <math> \, f\,'(x) \,=\, x^3 - 16\,x \, </math> har tre nollställen. Vi ordnar (sorterar) dem efter storlek på <math>\,x</math>-axeln genom att numrera om dem: <math> \, x_1 = -4 \, </math>, <math> \, x_2 = 0 \, </math> och <math> \, x_3 = 4 \, </math>.

Teckenstudium kring

* nollstället <math> \, x_1 = -4 \, </math>:

::<math> f\,'\,(-4,1) \,=\, (-4,1)^3 - 16\cdot (-4,1) \,=\, -3,321 \,<\, 0 </math>

::<math> f\,'\,(-3,9) \,=\, (-3,9)^3 - 16\cdot (-3,9) \,=\, 3,081 \,>\, 0 </math>

* nollstället <math> \, x_2 = 0 \, </math>:

::<math> f\,'\,(-0,1) \,=\, (-0,1)^3 - 16\cdot (-0,1) \,=\, 1,599 \,>\, 0 </math>

::<math> f\,'\,(0,1) \,=\, 0,1^3 - 16\cdot 0,1 \,=\, -1,599 \,<\, 0 </math>

* nollstället <math> \, x_3 = 4 \, </math>:

::<math> f\,'\,(3,9) \,=\, 3,9^3 - 16\cdot 3,9 \,=\, -3,081 \,<\, 0 </math>

::<math> f\,'\,(4,1) \,=\, 4,1^3 - 16\cdot 4,1 \,=\, 3,321 \,>\, 0 </math>

Vi inför resultaten i en teckentabell:

<table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;">
<tr>
<td><math>x</math></td>
<td> </td>
<td><math>-4</math></td>
<td> </td>
<td><math>0</math></td>
<td> </td>
<td><math>4</math></td>
<td> </td>
</tr>
<tr>
<td><math> f\,'(x) </math></td>
<td><math>-</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>-</math></td>
<td><math>0</math></td>
<td><math>+</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> f(x) </math></td>
<td> <big><big>↘</big></big> </td>
<td> </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
<td> </td>
<td> <big><big>↘</big></big> </td>
<td> </td>
<td> <big><big>↗</big></big> </td>
</tr>
</table>

Eftersom derivatan är en 3:e gradsfunktion och därmed inte har fler än tre nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|reglerna om växande och avtagande]] dra slutsatserna:

      För alla <math> {\color{White} {xxxxxxx}} x < -4 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande.

      I intervallet <math> \, -4 < x < 0 {\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> växande.

      I intervallet <math> {\color{White} x} \; 0 < x < 4 \,{\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande.

      För alla  <math> {\color{White} {xxxxxx}} \; x > 4 \,{\color{White} {xx}} </math> är <math>\, f(x) </math> växande.

3.1 Lösning 7d - Versionshistorik

Taifun den 5 december 2014 kl. 00.30