Taifun den 13 december 2014 kl. 20.20

2014-12-13T20:20:16Z

Ny sida

Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek och omnumrerade:

:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\
x_2 & = & 0 \\
x_3 & = & 2
\end{array}</math>

Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|regler om maxima och minima med andraderivata]]:

::<math> \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\
f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\
f''(x) & = & 3\,x^2 - 4
\end{array}</math>

Nollställe 1: <math> {\color{White} x} x_1 = -2 </math>

<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>.

Nollställe 2: <math> {\color{White} x} x_2 = 0 </math>

<math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>.

Nollställe 3: <math> {\color{White} x} x_3 = 2 </math>

<math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>.

Alla extrempunkter:

<math> x_1 = -2 \, </math> är en minimipunkt.

<math> x_2 = 0 \, </math> är en maximipunkt.

<math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt.

Att dessa är alla extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|Algebrans fundamentalsats]] inte kan ha fler än 3 nollställen.

3.2 Lösning 5b - Versionshistorik

Taifun den 13 december 2014 kl. 20.20