Taifun den 22 december 2014 kl. 10.15

2014-12-22T10:15:09Z

Ny sida

Vi har:

::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \\
f\,'(x) & = & 3\,a\,x^2 + 2\,b\,x + c
\end{array}</math>

Av att punkten <math> \, (-1, 7) \, </math> är ett maximum följer att <math> \, x = -1 \, </math> är en extrempunkt.

Av att <math> \, x = -1 \, </math> är en extrempunkt följer att derivatan för <math> \, x = -1 \, </math> är <math> \, = \, 0 </math> dvs:

::<math>\begin{array}{rcrclcr} f\,'(-1) & = & 3\,a \cdot (-1)^2 \, + \, 2\,b \cdot (-1) \, + \, c & = & 0 & & \\
& & 3\,a \, - \, 2\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad {\rm (I)}
\end{array}</math>

Av att <math> \, x = 2 \, </math> är en minimipunkt följer att derivatan för <math> \, x = 2 \, </math> är <math> \, = \, 0 </math> dvs:

::<math>\begin{array}{rcrclcr} f\,'(2) & = & 3\,a \cdot 2^2 \, + \, 2\,b \cdot 2 \, + \, c & = & 0 & & \\
& & 12\,a \, + \, 4\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\qquad\qquad {\rm (II)}
\end{array}</math>

Av att maximipunktens koordinater är <math> \, (-1, 7) \, </math> följer att funktionens värde för <math> \, x = -1 \, </math> är <math> \, 7 </math> dvs:

::<math>\begin{array}{rcrclcr} f(-1) & = & a \cdot (-1)^3 \, + \, b \cdot (-1)^2 \, + \, c \cdot (-1) & = & 7 & & \\
& & -\,a \, + \, b \, - \, c & = & 7 & & \quad {\rm (III)}
\end{array}</math>

Vi sammanställer resultaten ovan i följande linjärt ekvationssystem för de tre obekanta <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math>:

::<math>\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad 3\,a \, - \, 2\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\; {\rm (I)} \\
{\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad 12\,a \, + \, 4\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (II)} \\
{\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad -\,a \, + \, b \, - \, c & = & 7 & & \qquad\quad {\rm (III)}
\end{array}</math>

----

::<math>\begin{array}{rcrclcr} {\rm (II)} + {\rm (III)} & \Longrightarrow & \quad 11\,a \, + \, 5\,b & = & 7 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (IV)} \\
{\rm (II)} - {\rm (I)} & \Longrightarrow & \quad 9\,a \, + \, 6\,b & = & 0 & & \qquad\quad {\rm (V)}
\end{array}</math>

----

:::<math>\begin{array}{rcrclcr} 6 \cdot {\rm (IV)} & \Longrightarrow & \; 66\,a \, + \, 30\,b & = & 42 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (VI)} \\
5 \cdot {\rm (V)} & \Longrightarrow & \; 45\,a \, + \, 30\,b & = & 0 & & \qquad\quad {\rm (VII)}
\end{array}</math>

----

:<math>\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (VI)} - {\rm (VII)} & \Longrightarrow & \qquad\quad\; 21\,a & = & 42 & & \\
& & \qquad\quad\; a & = & 2 & &
\end{array}</math>

----

:<math>\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (V)} & \qquad\; \Longrightarrow \quad & 9 \cdot 2 \, + \, 6\,b & = & 0 & & \\
& \qquad\quad\; & 18 \, + \, 6\,b & = & 0 & & \\
& \qquad\quad\; & 6\,b & = & -18 & & \\
& \qquad\quad\; & b & = & -3 & &
\end{array}</math>

----

:<math>\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (III)} & \quad\; \Longrightarrow & -\,2 \, - \, 3 \, - \, c & = & 7 & & \\
& \quad\; & -\,5 \, - \, c & = & 7 & & \\
& \quad\; & - \, c & = & 12 & & \\
& \quad\; & c & = & -12 & &
\end{array}</math>

----

::<math>\begin{array}{rcrcl} {\rm Svar:} & {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad a & = & 2 \\
& {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad b & = & -3 \\
& {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad c & = & -12 \\
& {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad y & = & 2\,x^3 - 3\,x^2 - 12\,x
\end{array}</math>

3.2 Lösning 9a - Versionshistorik

Taifun den 22 december 2014 kl. 10.15