Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.52

2015-01-10T13:52:34Z

Ny sida

:<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & - x^4 - 4\,x^3 \\
f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 \\
f''(x) & = & -12\,x^2 - 24\,x \\
f'''(x) & = & -24\,x - 24
\end{array}</math>

Derivatans nollställen:

:<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 & = & 0 \\
& & -4\,x^2\,(x + 3) & = & 0 \\
& & x_1 & = & 0 \\
& & x_2 & = & -3
\end{array}</math>

Derivatan har två nollställen, ett i <math> x_1 = 0 </math> och ett i <math> x_2 = -3 </math>.

Nollställe 1: <math> {\color{White} x} x_1 = 0 </math>

:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan:

::<math> f''(0) \, = \, -12\cdot 0^2 - 24\cdot 0 = 0 </math>

:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan:

::<math> f'''(0) \, = \, -24\cdot 0 - 24 = 0 - 24 = - 24 \, \neq 0 </math>

:Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|regeln om terasspunkter med högre derivator]]:

::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math>

Nollställe 2: <math> {\color{White} x} x_2 = -3 </math>

:Vi sätter in <math> x_2 = -3 \, </math> i andraderivatan:

::<math> f''(-3) \, = \, -12\cdot (-3)^2 \, - \, 24\cdot (-3) = -12\cdot 9 \, + \, 24\cdot 3 = -108 + 72 = -36 \, < \, 0 </math>

:Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|regler om maxima och minima med andraderivata]]:

::<math> \, f\,'(-3) \, = 0, \quad f\,''(-3) \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>

<math> f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; x = -3 \;\; {\rm en\;maximipunkt.} </math>

3.3 Lösning 6a - Versionshistorik

Taifun den 10 januari 2015 kl. 13.52