Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.26

2015-01-22T10:26:03Z

Ny sida

::<math>\begin{array}{rcl} f(x)&=&-\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\
f'(x)&=&-\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 \\
f''(x)&=&-2\,x \, + \, 4
\end{array}</math>

Derivatans nollställen:

::<math>\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0 \\
x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 & = & 0 \\
\end{array}</math>

::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 3 \\
x_1 + x_2 & = & -(-4) = 4 \\
&\Downarrow& \\
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & 3
\end{array}</math>

Typ av kritiska punkter:

<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_1 = 1} \, </math>:

::<math> f''(x) \, = \, -2\,x \, + \, 4 </math>

::<math> f''(1) \, = \, -2\cdot 1 + 4 = 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>

<math> {\color{White} x} \quad \underline{x_2 = 3} \, </math>:

::<math> f''(3) \, = \, -2\cdot 3 + 4 = -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>

::<math> f''(1) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(3) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>

Koordinaterna:

::<math> f(x) \, = \, -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 </math>

::<math> f(1) \, = \, -\,{1^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 1^2 \, - \, 3\cdot 1 \, + \, 1 = -\,{1 \over 3} \quad \Longrightarrow \quad (1, -\,{1 \over 3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>

::<math> f(3) \, = \, -\,{3^3 \over 3} \, + \, 2\cdot 3^2 \, - \, 3\cdot 3 \, + \, 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad (3, 1) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>

3.4 Lösning 4a - Versionshistorik

Taifun den 22 januari 2015 kl. 10.26