Taifun den 24 januari 2015 kl. 12.19

2015-01-24T12:19:28Z

Ny sida

Den allmänna formen till en 3:e gradsfunktion är:

::<math> y = a\,x^3 \, + \, b\,x^2 \, + \, c\,x \, + \, d </math>

med <math> \; a,\, b,\, c,\, d = </math> konstanter.

"Går genom origo" <math> \quad \Longrightarrow \quad d = 0 \, </math>.

Vi har:

::<math>\begin{array}{rcl} y & = & a\,x^3 \, + \, b\,x^2 \, + \, c\,x \\
y\,' & = & 3\,a\,x^2 \, + \, 2\,b\,x \, + \, c
\end{array}</math>

För att få reda på lokala extrema sätter vi derivatan till <math> \, 0 \, </math> och löser ekvationen, varvid <math> \, a,\, b,\, c \, </math> behandlas som konstanter:

::<math>\begin{array}{rcl} 3\,a\,x^2 + 2\,b\,x + c & = & 0 \\
x^2 + {2\,b \over 3\,a}\,x + {c \over 3\,a} & = & 0 \\
x_{1, 2} & = & -\,{b \over 3\,a}\,\pm\,\sqrt{{b^2 \over 9\,a^2}\,-\,{c \over 3\,a}}
\end{array}</math>
----

Om derivatan ska ha endast ett nollställe och därmed funktionen endast en kritisk punkt, måste uttrycket under roten bli <math> \, 0 \, </math>:

::<math> {b^2 \over 9\,a^2} \, = \, {c \over 3\,a} </math>

Vi multiplicerar båda leden med <math> \, 9\,a^2 \, </math>:

::<math> b^2 \, = \, 3\,a\,c </math>

Detta samband måste gälla mellan konstanterna <math> \, a,\, b,\, c \, </math> för att funktionen ska ha endast en kritisk punkt. Det finns oändligt många möjligheter. Vi väljer <math> \, a \, = \, 3 \, </math> och <math> \, c \, = \, 1 \, </math> varav följer <math> \, b \, = \, 3 \, </math>. Detta ger funktionen:

::<math> y \, = \, 3\,x^3 \, + \, 3\,x^2 \, + \, x </math>

3.4 Lösning 7a - Versionshistorik

Taifun den 24 januari 2015 kl. 12.19