Ekvationer - Versionshistorik

Taifun den 25 maj 2015 kl. 12.32

2015-05-25T12:32:07Z

Taifun den 21 maj 2015 kl. 09.12

2015-05-21T09:12:13Z

Taifun den 21 maj 2015 kl. 09.11

2015-05-21T09:11:13Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 21.03

2015-05-18T21:03:41Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.54

2015-05-18T13:54:42Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.51

2015-05-18T13:51:25Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.50

2015-05-18T13:50:01Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.48

2015-05-18T13:48:55Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.39

2015-05-18T13:39:54Z

Taifun den 18 maj 2015 kl. 13.38

2015-05-18T13:38:59Z

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<-- Tillbaka till Polynom]]}}
+{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<-- Till Polynom]]}}
 {{Selected tab|[[Ekvationer|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}

@@ Rad 69: / Rad 69: @@
 Innan vi ger oss på rotekvationer är det bra att komma ihåg vad rotdragning egentligen är för räkneoperation. Vill vi t.ex. lösa följande 2:a gradsekvationen måste vi dra roten ur bägge leden:
-::::::::::::<math> x^2 = 4\; </math>
+:::::::::::<math> x^2 = 4\; </math>
 På vänsterled blir det x därför att rotdragning tar ut kvadraten i vänsterledet eftersom de per definition är s.k. <strong><span style="color:red">inversa</span></strong> (omvända) operationer, precis som paren addition/subtraktion och multiplikation/division. Men vad blir det på högerledet? Här måste vi precisera vårt rotbegrepp. Rotdragning ger alltid ett positivt värde som resultat:

@@ Rad 73: / Rad 73: @@
 På vänsterled blir det x därför att rotdragning tar ut kvadraten i vänsterledet eftersom de per definition är s.k. <strong><span style="color:red">inversa</span></strong> (omvända) operationer, precis som paren addition/subtraktion och multiplikation/division. Men vad blir det på högerledet? Här måste vi precisera vårt rotbegrepp. Rotdragning ger alltid ett positivt värde som resultat:
-:::::::::::<math> \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 </math>
+:::::::::::<math> \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 </math>
 Detta säger inte emot att ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> har <u>två</u> lösningar <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math>. Anldeningen till dessa två lösningar är dock INTE att <math> \sqrt{4} </math> kan vara <math> -2\, </math>, för det är fel. <math> \sqrt{4} \not= -2 </math>, utan <math> \sqrt{4} = +2 </math> och inget annat. Anldeningen till att ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> ändå har <u>både</u> lösningen <math> x_1 = 2\, </math> <u>och</u> <math> x_2 = -2\, </math> är att båda dessa lösningar uppfyller ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> dvs sätter man in dem i ekvationen blir vänsterled = högerled.

@@ Rad 31: / Rad 31: @@
 Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt <strong><span style="color:red">kvadratiska</span></strong> eller <strong><span style="color:red">2:a gradsekvationer</span></strong> därför att obekanten <math> x\, </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2\, </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte 2 har vi lärt oss att lösa 2:a gradsekvationer med följande metoder:
-* [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<strong><span style="color:blue">Nollproduktmeoden</span></strong>]]
+* [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">Nollproduktmeoden</span></strong>]]
 * <strong><span style="color:blue">Kvadratrotsmetoden</span></strong>
@@ Rad 42: / Rad 42: @@
 ----
-* [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vietas formler</span></strong>]]
+* [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">Vietas formler</span></strong>]]

@@ Rad 160: / Rad 160: @@
 ==== <b><span style="color:#931136">Den falska roten</span></b> ====
 Andra steget i att lösa rotekvationen
@@ Rad 198: / Rad 198: @@
 Rotekvationens lösning kan avläsas från grafernas skärningspunkt vid <math> x = 9\, </math>.
 Rotekvationer kan även lösas med andra metoder som vi inte tar upp här. En av dem är <strong><span style="color:red">substitution</span></strong>, även kallad <strong><span style="color:red">variabelbyte</span></strong>. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. I [[1.1 Övning 7|övning 7]] finns ett exempel på denna metod för rotekvationer. Substitution används nästan alltid när man vill lösa 4:e gradsekvationer som vi behandlar nu.
 </div> <!-- tolv4 -->

@@ Rad 259: / Rad 259: @@
 En prövning bekräftar detta resultat.
 Så här ser grafen till funktionen <math> y = x^4 - 6\,x^2 - 27 </math> ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar:
 :[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
-</div> <!-- tolv6 -->
+</div> <!-- exempel2 -->

@@ Rad 211: / Rad 211: @@
 <div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
-==== Exempel på 4:e gradsekvation med jämna x-potenser ====
+==== Exempel ====
 ::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>

@@ Rad 149: / Rad 149: @@
 För att få en intuitiv uppfattning om falska rötter-fenomenet ritar vi graferna till funktionerna <math> y_1 = 6 x + 10\, </math> (vänsterledet i ekvationen ovan) och <math> y_2 = (x - 1)^2\, </math> (högerledet) i samma koordinatsystem:
@@ Rad 156: / Rad 157: @@
 Om de också är lösningar till rotekvationen måste undersökas algebraiskt:
-==== Den falska roten ====
+==== <b><span style="color:#931136">Den falska roten</span></b> ====
 Andra steget i att lösa rotekvationen
@@ Rad 197: / Rad 200: @@
 Rotekvationer kan även lösas med andra metoder som vi inte tar upp här. En av dem är <strong><span style="color:red">substitution</span></strong>, även kallad <strong><span style="color:red">variabelbyte</span></strong>. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. I [[1.1 Övning 7|övning 7]] finns ett exempel på denna metod för rotekvationer. Substitution används nästan alltid när man vill lösa 4:e gradsekvationer som vi behandlar nu.
-== 4:e gradsekvationer med jämna x-potenser ==
+== <b><span style="color:#931136">4:e gradsekvationer med jämna x-potenser</span></b> ==
-Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten <math> x </math> endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser. Följande är ett exempel på en sådan 4:e gradsekvation med jämna x-potenser:
+Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten <math> x </math> endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser.
 ::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>
@@ Rad 249: / Rad 259: @@
 En prövning bekräftar detta resultat.
 Så här ser grafen till funktionen <math> y = x^4 - 6\,x^2 - 27 </math> ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar:
 :[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
 http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2015 kl. 13.39
Rad 146:		Rad 146:

	Denna ekvation fick vi när vi kvadrerade rotekvationen ovan. Den ursprungliga rotekvationens lösningar är en del av denna kvadrerade ekvationen. Det kan däremot finnas lösningar här som inte löser rotekvationen, s.k. ''falska rötter''.		Denna ekvation fick vi när vi kvadrerade rotekvationen ovan. Den ursprungliga rotekvationens lösningar är en del av denna kvadrerade ekvationen. Det kan däremot finnas lösningar här som inte löser rotekvationen, s.k. ''falska rötter''.
−	<div ~~class="exempel"~~> <!-- exempel1 -->	+	</div> <!-- exempel1 -->

@@ Rad 82: / Rad 82: @@
 '''Funktionsbegreppet:'''
 ----
 ::En funktion <math> y = f\,(x) </math> är en föreskrift (formel, graf eller tabell) som tilldelar varje <math> \,x</math>-värde ENDAST ett <math> \,y</math>-värde.
 ----