Skillnad mellan versioner av "1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (103 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<-- Förra demoavsnitt]]}} |
| − | {{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner| | + | {{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}} |
{{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}} | ||
{{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | {{Selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt -->]]}} | + | {{Not selected tab|[[Diagnosprov 1 i Matte 3 kap 1 Algebra och funktioner|Diagnosprov kap 1 -->]]}} |
| + | <!-- {{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt --> <!-- ]]}} --> | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| + | [[Media: Lektion 8 Kontin. & diskreta funktioner Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner</span></strong>]] | ||
| + | __NOTOC__ <!-- __TOC__ --> | ||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv1 --> | ||
| + | I genomgången sades att kontinuerlig (motsatsen till diskret) betydde sammanhängande. Som [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2_Kontinuerlig_funktion|<strong><span style="color:blue">exempel</span></strong>]] på en kontinuerlig funktion ritade vi grafen till en enkel linjär funktion med en genomdragen linje. Ytterligare exempel på kontinuerliga funktioner är [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Polynomfunktioner_av_h.C3.B6gre_grad|<strong><span style="color:blue">polynomfunktioner</span></strong>]]. Kontinuerliga funktioners grafer kunde man rita utan att lyfta pennan. Deras definitionsmängder var kontinuerliga mängder som t.ex. de rationella och reella talen. Allt detta är sant, men alla dessa resonemang är intuitiva. | ||
| + | </div> <!-- tolv1 --> | ||
| − | |||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> == | |
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv2 --> | ||
| + | Förhållandena i tillämpningarna kan bli mer komplicerade än så. I sådana fall kan man endast med de intuitiva verktygen ovan inte avgöra om en funktion är kontinuerlig. Därför behövs en exakt definition: | ||
| − | == | + | <div class="border-div"> |
| + | <big> En funktion <math> y = f(x)\, </math> är <strong><span style="color:red">kontinuerlig för</span></strong> <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math> om: </big> | ||
| − | + | ::::<big><math> f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a </math></big> | |
| + | </div> | ||
| − | |||
| − | + | Den andra raden i definitionen läses så här <math> {\color{White} x} f(x)\, </math> går mot <math> f(a)\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> a </math>. | |
| − | + | Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig <strong><span style="color:red">för ett visst</span></strong> <math> {\color{Red} x}\, </math><strong><span style="color:red">-värde</span></strong> nämligen för <math> {\color{Red} {x = a}}\, </math>. Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla <math> \, x\, </math>. Då måste även kontinuitet prövas för varje <math> \, x\, </math>. | |
| + | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| − | < | + | <div class="exempel"> <!-- exempel1 --> |
| + | === <span style="color:#931136">Exempel 1</span> === | ||
| − | + | Låt oss återuppta ett exempel som behandlades i [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">Fördjupning till rationella uttryck</span></strong>]] nämligen funktionen: | |
| − | + | ||
| − | + | <div class="border-div"> <big><big><math> \displaystyle y = {1 \over x} </math></big></big> </div> vars graf ser ut så här: [[Image: y=1_div_x_70.jpg]] | |
| − | </div> | + | |
| + | <strong><span style="color:red">a)</span></strong> Är denna funktion enligt definition kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 0}}\, </math>? | ||
| − | + | För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där <math> a \, </math> med <math> 0 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <big><big><math> 1 \over x </math></big></big>. Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 0}}\, </math> om: | |
| − | + | ::::::::<math> {1 \over x} \to f(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math> | |
| + | Titta på grafen: Närmar man sig <math> 0\, </math> på <math> x\, </math>-axeln från höger eller från vänster, går <math> y\, </math> mot <math> +\infty </math> eller <math> -\infty </math>. Med andra ord <math> f(0)\, </math> dvs <big><big><math> 1 \over 0 </math></big></big> är inte ens definierad. Då kan <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> inte heller gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. | ||
| − | = | + | Slutsats: Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. |
| − | + | Exemplet visar att en funktion måste åtminstone vara definierad för ett visst <math> x \, </math>, för att den ska vara kontinuerlig för detta <math> x \, </math>. | |
| − | + | ---- | |
| − | |||
| − | : | + | <strong><span style="color:red">b)</span></strong> Är samma funktion enligt definition kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 2}}\, </math>? |
| − | + | För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där <math> a \, </math> med <math> 2 \, </math> och <math> f(x) \, </math> med <big><big><math> 1 \over x </math></big></big>. Definitionen säger<span style="color:black">:</span> <math> y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 2}}\, </math> om: | |
| − | ::::::::<math> {1 \over x} \to | + | ::::::::<math> {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 </math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | < | + | Titta på grafen: Närmar man sig <math> 2\, </math> på <math> x\, </math>-axeln från höger eller från vänster, närmar sig <math> y\, </math> värdet <big><big><math> 1 \over 2 </math></big></big> i båda fall, därör att <math> f(2) = </math> <big><big><math> 1 \over 2 </math></big></big>. Därmed är dfinitionens krav uppfyllt. |
| + | Slutsats: Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är kontinuerlig för <math> x = 2\, </math>. | ||
| − | + | ---- | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> {\color{Red} x}\, </math>. | + | På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra <math> {\color{Red} x}\, </math>. Sammanfattningsvis blir resultatet: |
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 50px !important; |
padding:10px 20px 10px 20px; | padding:10px 20px 10px 20px; | ||
-webkit-border-radius: 5px; | -webkit-border-radius: 5px; | ||
| Rad 81: | Rad 83: | ||
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>, annars är de sammanhängande. | Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>, annars är de sammanhängande. | ||
| + | </div> <!-- exempel1 --> | ||
| − | ==== Exempel 2 | + | <div class="exempel"> <!-- exempel2 --> |
| + | === <span style="color:#931136">Exempel 2</span> === | ||
| − | Inom datateknik används en funktion som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Heavisides_stegfunktion <strong><span style="color:blue">Heavisidefunktionen</span></strong>] | + | Inom datateknik används en funktion som heter [http://sv.wikipedia.org/wiki/Heavisides_stegfunktion <strong><span style="color:blue">Heavisidefunktionen</span></strong>]: |
| − | : | + | <div class="border-div"><big><math> y \, = \, H(x) \, = \, \begin{cases} -1 & \mbox{om } x < 0 \\ |
| + | 0 & \mbox{om } x = 0 \qquad x \;\mbox{reellt tal} \\ | ||
| + | 1 & \mbox{om } x > 0 | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </math></big> </div> vars graf ser ut så här: [[Image: Heaviside 80.jpg]] | ||
De ihåliga ringarna vid <math> y = 1 \, </math> och <math> y = -1 \, </math> betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden. | De ihåliga ringarna vid <math> y = 1 \, </math> och <math> y = -1 \, </math> betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden. | ||
| − | Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 - en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare [http://sv.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside <strong><span style="color:blue">Oliver Heaviside</span></strong>] använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar. | + | Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 <math>-</math> en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare [http://sv.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside <strong><span style="color:blue">Oliver Heaviside</span></strong>] använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt): | Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt): | ||
| − | ::::<math>\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa | + | ::::<math>\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\ |
H(0) & = & 0 \\ | H(0) & = & 0 \\ | ||
| − | H(\mbox{ | + | H(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för <math> {\color{Red} x = 0} | + | Dvs <math> \, H(x) \, </math> har för negativa <math> \, x \, </math> värdet <math> \, -1 \, </math>, för <math> \, x = 0 \, </math> värdet <math> \, 0 \, </math> och för positiva <math> \, x \, </math> värdet <math> \, 1 \, </math>. |
| + | |||
| + | Låt oss nu med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></strong>]] för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för <math> {\color{Red} {x = 0}} </math>. Enligt definitionen borde då: | ||
::::::::<math> H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math> | ::::::::<math> H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math> | ||
| Rad 119: | Rad 120: | ||
Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen <math> H(x)\, </math> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen <math> H(x)\, </math> är inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | ||
| − | Undersökar man vidare kontinuiteten för andra <math> x\, </math> kommer det att visa sig att <math> H(x)\, </math> är kontinuerlig för alla andra <math> x\, </math> | + | Undersökar man vidare kontinuiteten för andra <math> x\, </math> kommer det att visa sig att <math> H(x)\, </math> är kontinuerlig för alla andra <math> x\, </math>: |
| − | + | ||
| − | + | ||
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 50px !important; |
padding:10px 20px 10px 20px; | padding:10px 20px 10px 20px; | ||
-webkit-border-radius: 5px; | -webkit-border-radius: 5px; | ||
-moz-border-radius: 5px; | -moz-border-radius: 5px; | ||
| − | border-radius: 5px;"><big> Funktionen <math> | + | border-radius: 5px;"><big> Funktionen <math> H(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> x \neq 0\, </math>. </big> |
</div> | </div> | ||
| − | ---- | + | Resultatet kan också ses i grafen: Endast i <math> x=0\, </math> har den ett hopp, annars är den sammanhängande. |
| + | </div> <!-- exempel2 --> | ||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Olika typer av diskontinuitet</span></b> == | |
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | ||
| + | Tittar man bara på resultatet kan man inte upptäcka någon skillnad mellan Exempel 1 och Exempel 2: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla <math> x \neq 0 </math>. Men graferna <math>-</math> och även funktionernas definition <math>-</math> visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i <math> x = 0\, </math>: | ||
| + | </div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | ||
| − | + | ||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ oändlighetsställe</span></b> ==== | ||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | ||
| + | I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] är funktionen inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math> därför att <math> y = </math> <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> överhuvudtaget inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot <math> + \infty\, </math>, den andra mot <math> - \infty\, </math>. Detta beror förstås på uttrycket <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> som inte är definierad för <math> x = 0\, </math>. Vi har ett slags <strong><span style="color:red">oändlighetsställe</span></strong> i <math> x = 0\, </math> vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i <math> x = 0\, </math>. Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd. | ||
| + | </div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | ||
| − | == | + | ==== <b><span style="color:#931136">Diskontinuitet av typ hopp</span></b> ==== |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | |
| − | + | I [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_2|<strong><span style="color:blue">Exempel 2</span></strong>]] är Heavisidefunktionen inte kontinuerlig för <math> x = 0\, </math> därför att <math> H(x)\, </math> har ett <strong><span style="color:red">hopp</span></strong> i sitt förlopp just i <math> x = 0\, </math>. Den har ett väl definierat värde för <math> x = 0\, </math>, nämligen <math> H(0) = 0\, </math>. Men hoppet från <math> -1\, </math> till <math> 0\, </math> och vidare från <math> 0\, </math> till <math> 1\, </math> gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt. | |
| − | + | ||
| − | + | Det finns även andra typer av diskontinuitet, men <strong><span style="color:red">oändlighetsställe</span></strong> och <strong><span style="color:red">hopp</span></strong> är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner. | |
| + | </div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 7 juni 2015 kl. 15.35
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 1 --> |
Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner
I genomgången sades att kontinuerlig (motsatsen till diskret) betydde sammanhängande. Som exempel på en kontinuerlig funktion ritade vi grafen till en enkel linjär funktion med en genomdragen linje. Ytterligare exempel på kontinuerliga funktioner är polynomfunktioner. Kontinuerliga funktioners grafer kunde man rita utan att lyfta pennan. Deras definitionsmängder var kontinuerliga mängder som t.ex. de rationella och reella talen. Allt detta är sant, men alla dessa resonemang är intuitiva.
Allmän definition
Förhållandena i tillämpningarna kan bli mer komplicerade än så. I sådana fall kan man endast med de intuitiva verktygen ovan inte avgöra om en funktion är kontinuerlig. Därför behövs en exakt definition:
En funktion \( y = f(x)\, \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = a}}\, \) om:
- \( f(x) \to f(a) \quad {\rm när} \quad x \to a \)
Den andra raden i definitionen läses så här \( {\color{White} x} f(x)\, \) går mot \( f(a)\, \) när \( x\, \) går mot \( a \).
Observera att definitionen är punktvis, dvs den talar om när en funktion är kontinuerlig för ett visst \( {\color{Red} x}\, \)-värde nämligen för \( {\color{Red} {x = a}}\, \). Man skulle kunna lägga till att en funktion i sin helhet är kontinuerlig om den är kontinuerlig för alla \( \, x\, \). Då måste även kontinuitet prövas för varje \( \, x\, \).
Exempel 1
Låt oss återuppta ett exempel som behandlades i Fördjupning till rationella uttryck nämligen funktionen:
a) Är denna funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \)?
För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}}\, \) om:
- \[ {1 \over x} \to f(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]
Titta på grafen: Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, går \( y\, \) mot \( +\infty \) eller \( -\infty \). Med andra ord \( f(0)\, \) dvs \( 1 \over 0 \) är inte ens definierad. Då kan \( 1 \over x \) inte heller gå mot något som inte är definierat. Därmed är definitionens krav inte uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
Exemplet visar att en funktion måste åtminstone vara definierad för ett visst \( x \, \), för att den ska vara kontinuerlig för detta \( x \, \).
b) Är samma funktion enligt definition kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \)?
För att tillämpa definitionen på vårt exempel ersätter vi där \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Definitionen säger: \( y = f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 2}}\, \) om:
- \[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \quad {\rm när} \quad x \to 2 \]
Titta på grafen: Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = \) \( 1 \over 2 \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = \) \( 1 \over x \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Sammanfattningsvis blir resultatet:
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.
Exempel 2
Inom datateknik används en funktion som heter Heavisidefunktionen:
De ihåliga ringarna vid \( y = 1 \, \) och \( y = -1 \, \) betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen vid origo innebär att detta värde tillhör värdemängden.
Grafen visar en signal vars amplitud skiftar från 0 till 1 \(-\) en egenskap som liknar impulserna inom datornätverk med ettor och nollor. Funktionens skapare Oliver Heaviside använde den för att modellera strömmen genom elektriska kretsar.
Precis som hos Fibonaccis funktion har man även här utnyttjat möjligheten att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske kan formeln ovan samt grafen, inkl. de ihåliga och ifyllda ringarna, förstås bättre med följande förenkling (OBS! Matematiskt inte korrekt):
- \[\begin{array}{rcl} H(\mbox{negativa}\; x) & = & -1 \\ H(0) & = & 0 \\ H(\mbox{positiva}\; x) & = & 1 \end{array}\]
Dvs \( \, H(x) \, \) har för negativa \( \, x \, \) värdet \( \, -1 \, \), för \( \, x = 0 \, \) värdet \( \, 0 \, \) och för positiva \( \, x \, \) värdet \( \, 1 \, \).
Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} {x = 0}} \). Enligt definitionen borde då:
- \[ H(x) \to H(0) \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]
Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( 1\, \). Närmar man sig \( 0\, \) från vänster närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( -1\, \). Dvs \( H(x) \to 1\, \) och \( \to -1\, \) när \( x \to 0 \).
Men \( H(0) = 0\, \). \( H(x)\, \) går dock inte mot \( H(0) = 0\, \) när \( x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( x = 0\, \).
Därmed är definitionens krav inte uppfyllt. Funktionen \( H(x)\, \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
Undersökar man vidare kontinuiteten för andra \( x\, \) kommer det att visa sig att \( H(x)\, \) är kontinuerlig för alla andra \( x\, \):
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) har den ett hopp, annars är den sammanhängande.
Olika typer av diskontinuitet
Tittar man bara på resultatet kan man inte upptäcka någon skillnad mellan Exempel 1 och Exempel 2: Båda funktionerna är kontinuerliga för alla \( x \neq 0 \). Men graferna \(-\) och även funktionernas definition \(-\) visar ändå en ganska markant skillnad. Faktiskt handlar det om två helt olika typer av diskontinuitet i \( x = 0\, \):
Diskontinuitet av typ oändlighetsställe
I Exempel 1 är funktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( y = \) \( 1 \over x \) överhuvudtaget inte är definierad för \( x = 0\, \). Kurvorna skenar iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \). Detta beror förstås på uttrycket \( 1 \over x \) som inte är definierad för \( x = 0\, \). Vi har ett slags oändlighetsställe i \( x = 0\, \) vilket är ganska typiskt för rationella funktioner. Den här typen av diskontinuitet är en konsekvens av funktionens icke-definierbarhet i \( x = 0\, \). Annars är funktionen kontinuerlig i sin definitionsmängd.
Diskontinuitet av typ hopp
I Exempel 2 är Heavisidefunktionen inte kontinuerlig för \( x = 0\, \) därför att \( H(x)\, \) har ett hopp i sitt förlopp just i \( x = 0\, \). Den har ett väl definierat värde för \( x = 0\, \), nämligen \( H(0) = 0\, \). Men hoppet från \( -1\, \) till \( 0\, \) och vidare från \( 0\, \) till \( 1\, \) gör att det uppstår en diskontinuitet just där. Att denna diskontinuitet är av en annan typ än oändlighetsstället i Exempel 1 är uppenbart. Till skillnad från Exempel 1 är funktionen i alla fall beräknebar, trots diskontinuiteten. Ja, den är t.o.m en bra modell för verkligheten, för så beter sig en signal när den hoppar från noll till ett, nämligen diskontinuerligt.
Det finns även andra typer av diskontinuitet, men oändlighetsställe och hopp är de oftast förekommande hos kontinuerliga funktioner.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
