Skillnad mellan versioner av "3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner"

Från mattekollen
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(102 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|<-- Förra avsnitt]]}}
+
<!-- {{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|<-- Förra avsnitt]]}} -->
−
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
+
<Big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</Big>
  
  
−
<Big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</Big>
+
<Big><Big><Big><span style="color:#A4A4A4">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
  
  
−
== Övning 1 ==
+
<div class="ovnE">
−
<div class="ovning">
+
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
−
Följande graf till en funktion <math>-</math> definierad i intervallet <math> \, -6 \leq x \leq 5 -</math> är given:
+
Följande graf till en funktion med definitionsmängden <math> \, -6 \leq x \leq 5 -</math> är given:
  
 
:[[Image: Ovn 341.jpg]]
 
:[[Image: Ovn 341.jpg]]
 +
  
 
a) &nbsp; Avläs funktionens största och minsta värde.
 
a) &nbsp; Avläs funktionens största och minsta värde.
  
−
b) &nbsp; Avläs funktionens lokala extrema.
+
b) &nbsp; Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.
  
−
c) &nbsp; Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad.
+
c) &nbsp; Avläs derivatans nollställen.
  
−
d) &nbsp; Avläs derivatans nollställen.
+
d) &nbsp; Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.3 Svar 1a|Lösning 1a|3.3 Lösning 1a|Svar 1b|3.3 Svar 1b|Lösning 1b|3.3 Lösning 1b|Svar 1c|3.3 Svar 1c|Lösning 1c|3.3 Lösning 1c|Svar 1d|3.3 Svar 1d|Lösning 1d|3.3 Lösning 1d}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.4 Svar 1a|Svar 1b|3.4 Svar 1b|Lösning 1b|3.4 Lösning 1b|Svar 1c|3.4 Svar 1c|Svar 1d|3.4 Svar 1d|Lösning 1d|3.4 Lösning 1d}}</div>
  
−
== Övning 2 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
 +
Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1, men med en annan definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \, -6 < x < 5 \, </math>.
 +
 
 +
:[[Image: Ovn 342.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
Ange funktionens största och minsta värde.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2|3.4 Svar 2a|Lösning 2|3.4 Lösning 2a}}</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
−
::<math> f(x) \, = \, 2\,x^3 \, - \, 5 </math>
+
::<math> f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x </math>
  
−
a) &nbsp; Derivera funktionen tre gånger.
+
a) &nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger.
  
−
b) &nbsp; Bestäm derivatans nollställe.
+
b) &nbsp; Beräkna derivatans nollställen.
  
−
c) &nbsp; Vilket värde har andraderivatan i derivatans nollställe?
+
c) &nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
  
−
d) &nbsp; Vilket värde har tredjederivatan i derivatans nollställe?
+
d) &nbsp; Ange de i c) hittade punkters koordinater.
  
−
e) &nbsp; Har funktionen i derivatans nollställe en terasspunkt? Motivera. Om ja, ange terasspunktens koordinater.
+
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i olika koordinatsystem.
  
−
f) &nbsp; Kontrollera dina resultat från grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.  
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.4 Svar 3a|Svar 3b|3.4 Svar 3b|Lösning 3b|3.4 Lösning 3b|Svar 3c|3.4 Svar 3c|Lösning 3c|3.4 Lösning 3c|Svar 3d|3.4 Svar 3d|Lösning 3d|3.4 Lösning 3d|Lösning 3e|3.4 Lösning 3e}}</div>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Om du hittat en terasspunkt markera den i funktionens graf samt derivatans nollställe i derivatans graf.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.3 Svar 2a|Svar 2b|3.3 Svar 2b|Lösning 2b|3.3 Lösning 2b|Svar 2c|3.3 Svar 2c|Lösning 2c|3.3 Lösning 2c|Svar 2d|3.3 Svar 2d|Lösning 2d|3.3 Lösning 2d|Svar 2e|3.3 Svar 2e|Lösning 2e|3.3 Lösning 2e|Lösning 2f|3.3 Lösning 2f}}
+
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
 +
Följande funktion är definierad i intervallet <math> \, -1 \leq x \leq 5 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
== Övning 3 ==
+
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, -{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \qquad </math>  
−
<div class="ovning">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> f(x) \, = \, x^4 </math>
+
a) &nbsp; Undersök algebraiskt om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.
  
−
a) &nbsp; Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.
+
b) &nbsp; Skissa dina resultat från a).
  
−
b) &nbsp; Vilken typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritisk punkt</span></strong>]] visar funktionens graf och var finns den?
+
c) &nbsp; Beräkna funktionens största och minsta värden.
  
−
c) &nbsp; Visa algebraiskt (med [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]) att den kritiska punkten inte är någon terasspunkt.
+
d) &nbsp; Inför dina resultat i samma skiss som i b) och skissa förloppet till <math> \, f(x) \, </math>.
  
−
d) &nbsp; Avgör algebraiskt (med en teckentabell) om vilken typ av kritisk punkt det handlar om.
+
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math>.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning 3a|3.3 Lösning 3a|Svar 3b|3.3 Svar 3b|Lösning 3c|3.3 Lösning 3c|Svar 3d|3.3 Svar 3d|Lösning 3d|3.3 Lösning 3d}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.4 Svar 4a|Lösning 4a|3.4 Lösning 4a|Lösning 4b|3.4 Lösning 4b|Svar 4c|3.4 Svar 4c|Lösning 4c|3.4 Lösning 4c|Lösning 4d|3.4 Lösning 4d|Lösning 4e|3.4 Lösning 4e}}</div>
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:
 
  
−
::<math> f(x) \, = \, 2\,x^3 - 6\,x^2 + 6\,x </math>
 
  
−
Gå igenom följande steg för att lösa uppgiften:
 
  
−
a) &nbsp; Derivera funktionen tre gånger.
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
  
−
b) &nbsp; Bestäm derivatans nollställen.
 
  
−
c) &nbsp; Bestäm andraderivatans värde i derivatans nollställen.
+
<div class="ovnC">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
 +
En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:
  
−
d) &nbsp; Bestäm tredjederivatans värde i derivatans nollställen.
+
[[Image: Ovn 345.jpg]]
  
−
e) &nbsp; Avgör om derivatans nollställen är funktionens maxima, minima eller terasspunkter och ange deras koordinater.
 
  
−
f) &nbsp; Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.  
+
Använd graferna ovan för att skissa det ungefärliga förloppet till funktionen <math> \, f(x) \, </math>.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Markera de eventuella maxima, minima eller terasspunkter du hittat i funktionens graf samt derivatans nollställen i derivatans graf.
+
Motivera din skiss.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.3 Svar 4a|Svar 4b|3.3 Svar 4b|Lösning 4b|3.3 Lösning 4b|Svar 4c|3.3 Svar 4c|Lösning 4c|3.3 Lösning 4c|Svar 4d|3.3 Svar 4d|Lösning 4d|3.3 Lösning 4d|Svar 4e|3.3 Svar 4e|Lösning 4e|3.3 Lösning 4e|Lösning 4f|3.3 Lösning 4f}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 5|3.4 Svar 5|Lösning 5|3.4 Lösning 5}}</div>
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
+
<div class="ovnC">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 +
Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:
  
 +
Undersök om följande funktion har en lokal maximi-, minimi- eller terasspunkt för <math> \, x \, = \, 0 \, </math>:
  
−
== Övning 5 ==
+
:::<math> \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Undersök om och var följande funktion har [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritiska punkter</span></strong>]]:
+
  
−
::<math> f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 </math>
+
Han berättar för Jennifer att han pga följande teckentabell har identifierat <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en terasspunkt:
  
−
a) &nbsp; Ange kritiska punkternas typ och bestäm deras graferna.
+
                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;">
 +
  <tr>
 +
    <td><math>x</math></td>
 +
    <td><math>-1</math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math>1</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
 +
    <td><math>-</math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math>-</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> \,f(x) </math></td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
 +
    <td> <strong><span style="color:red">Terass</span></strong> </td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
 +
  </tr>
 +
</table>
  
−
b) &nbsp; Kontrollera dina resultat grafiskt. Kommentera kontrollen.
 
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.3 Svar 5a|Lösning 5a|3.3 Lösning 5a|Lösning 5b|3.3 Lösning 5b}}
 
  
−
== Övning 6 ==
+
Dessutom berättar Kalle att han på sin grafräknare har ritat grafen till <math> \, f(x) \, </math> som även visat en terasspunkt.
−
<div class="ovning">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> f(x) \, = \, - x^4 - 4\,x^3 </math>
+
Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till att man från Kalles teckentabell inte kan dra slutsatsen att <math> \, x \, = \, 0 \, </math> är en terasspunkt.
  
−
a) &nbsp; Hitta funktionens alla kritiska punkter och ange deras typ.
+
Jennifer identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">kritisk punkt</span></strong>]].
  
−
b) &nbsp; Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem. Besvara följande frågor med hjälp av graferna:
+
a) &nbsp; Vem har rätt? Varför? Lös uppgiften själv.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Är något av derivatans nollställen en dubbelrot? Om ja, vilket av dem?
+
b) &nbsp; Har <math> \, f(x) \, </math> även andra kritiska punkter? Om ja, hitta och identifiera dem.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken slutsats kan man dra av dubbelroten om den kritiska punktens typ?
+
c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.3 Svar 6a|Lösning 6a|3.3 Lösning 6a|Lösning 6b|3.3 Lösning 6b}}
+
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.4 Svar 6a|Lösning 6a|3.4 Lösning 6a|Svar 6b|3.4 Svar 6b|Lösning 6b|3.4 Lösning 6b|Lösning 6c|3.4 Lösning 6c}}</div>
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
 
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Undersök följande funktion:
 
  
−
::::<math> f(x) = 2\,x^5 - 5\,x^4 - 10\,x^3 + 20\,x^2 + 40\,x + 23 </math>
 
  
−
a) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras typ och koordinater.
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Använd ev. digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer.
 
  
−
b) &nbsp; Har <math> f(x) </math> även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.
+
<div class="ovnA">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
 +
Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:
  
−
c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
+
a) &nbsp; Endast en kritisk punkt.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.3 Svar 7a|Lösning 7a|3.3 Lösning 7a|Svar 7b|3.3 Svar 7b|Lösning 7b|3.3 Lösning 7b|Lösning 7c|3.3 Lösning 7c}}
+
b) &nbsp; Exakt två kritiska punkter.
  
−
== Övning 8 ==
+
c) &nbsp; Ingen kritisk punkt alls.
−
<div class="ovning">
+
 
 +
d) &nbsp; Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.4 Svar 7a|Lösning 7a|3.4 Lösning 7a|Svar 7b|3.4 Svar 7b|Lösning 7b|3.4 Lösning 7b|Svar 7c|3.4 Svar 7c|Lösning 7c|3.4 Lösning 7c|Lösning 7d|3.4 Lösning 7d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
−
::::<math> f(x) = (x - 2)^3 \, (x + 2) + 7 </math>
+
::::<math> f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 </math>
  
−
a) &nbsp; Utveckla funktionsuttrycket så att du kan derivera. Ange derivatan <math> f\,'(x) </math>.
+
a) &nbsp; Bestäm funktionens alla ev. lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.
  
−
b) &nbsp; Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.
+
b) &nbsp; Hitta funktionens alla inflexionspunkter samt deras koordinater.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Använd ev. digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer.
+
c) &nbsp; Rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Bestäm kritiska punkternas typ. Ange alla punkters koordinater.  
+
:Markera inflexionspunkterna i båda graferna.
  
−
c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
+
:Förklara varför derivatan har sina extrema i funktionens inflexionspunkter.
 +
 
 +
Ange alla numeriska svar med tre decimaler.
 +
 
 +
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|3.4 Lösning 8a|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|3.4 Lösning 8b|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}} -->
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|Denna lösning ingår inte i demon.|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|Denna lösning ingår inte i demon.|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.3 Svar 8a|Lösning 8a|3.3 Lösning 8a|Svar 8b|3.3 Svar 8b|Lösning 8b|3.3 Lösning 8b|Lösning 8c|3.3 Lösning 8c}}
 
  
  
Rad 167: Rad 198:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 17 maj 2015 kl. 22.52

       Genomgång          Övningar          --> Nästa avsnitt      


I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande graf till en funktion med definitionsmängden \( \, -6 \leq x \leq 5 -\) är given:

Ovn 341.jpg


a)   Avläs funktionens största och minsta värde.

b)   Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.

c)   Avläs derivatans nollställen.

d)   Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.

Svar 1a
3.4 Svar 1a
Svar 1b
3.4 Svar 1b
Lösning 1b
3.4 Lösning 1b
Svar 1c
3.4 Svar 1c
Svar 1d
3.4 Svar 1d
Lösning 1d
3.4 Lösning 1d


Övning 2

Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1, men med en annan definitionsmängd: \( \, -6 < x < 5 \, \).

Ovn 342.jpg


Ange funktionens största och minsta värde.

Svar 2
3.4 Svar 2a
Lösning 2
3.4 Lösning 2a


Övning 3

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x \]

a)   Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger.

b)   Beräkna derivatans nollställen.

c)   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

d)   Ange de i c) hittade punkters koordinater.

e)   Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i olika koordinatsystem.

Svar 3a
3.4 Svar 3a
Svar 3b
3.4 Svar 3b
Lösning 3b
3.4 Lösning 3b
Svar 3c
3.4 Svar 3c
Lösning 3c
3.4 Lösning 3c
Svar 3d
3.4 Svar 3d
Lösning 3d
3.4 Lösning 3d
Lösning 3e
3.4 Lösning 3e


Övning 4

Följande funktion är definierad i intervallet \( \, -1 \leq x \leq 5 \, \):

\[ y \, = \, f(x) \, = \, -{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \qquad \]

a)   Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b)   Skissa dina resultat från a).

c)   Beräkna funktionens största och minsta värden.

d)   Inför dina resultat i samma skiss som i b) och skissa förloppet till \( \, f(x) \, \).

e)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \).

Svar 4a
3.4 Svar 4a
Lösning 4a
3.4 Lösning 4a
Lösning 4b
3.4 Lösning 4b
Svar 4c
3.4 Svar 4c
Lösning 4c
3.4 Lösning 4c
Lösning 4d
3.4 Lösning 4d
Lösning 4e
3.4 Lösning 4e



C-övningar: 5-6


Övning 5

En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:

Ovn 345.jpg


Använd graferna ovan för att skissa det ungefärliga förloppet till funktionen \( \, f(x) \, \).

Motivera din skiss.

Svar 5
3.4 Svar 5
Lösning 5
3.4 Lösning 5


Övning 6

Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:

Undersök om följande funktion har en lokal maximi-, minimi- eller terasspunkt för \( \, x \, = \, 0 \, \):

\[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, \]

Han berättar för Jennifer att han pga följande teckentabell har identifierat \( \, x \, = \, 0 \, \) som en terasspunkt:

\(x\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\( f\,'(x) \) \(-\) \(0\) \(-\)
\( \,f(x) \) ↘ Terass ↘


Dessutom berättar Kalle att han på sin grafräknare har ritat grafen till \( \, f(x) \, \) som även visat en terasspunkt.

Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till att man från Kalles teckentabell inte kan dra slutsatsen att \( \, x \, = \, 0 \, \) är en terasspunkt.

Jennifer identifierar \( \, x \, = \, 0 \, \) som en annan typ av kritisk punkt.

a)   Vem har rätt? Varför? Lös uppgiften själv.

b)   Har \( \, f(x) \, \) även andra kritiska punkter? Om ja, hitta och identifiera dem.

c)   Visualisera dina resultat.

Svar 6a
3.4 Svar 6a
Lösning 6a
3.4 Lösning 6a
Svar 6b
3.4 Svar 6b
Lösning 6b
3.4 Lösning 6b
Lösning 6c
3.4 Lösning 6c



A-övningar: 7-8


Övning 7

Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:

a)   Endast en kritisk punkt.

b)   Exakt två kritiska punkter.

c)   Ingen kritisk punkt alls.

d)   Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.

Svar 7a
3.4 Svar 7a
Lösning 7a
3.4 Lösning 7a
Svar 7b
3.4 Svar 7b
Lösning 7b
3.4 Lösning 7b
Svar 7c
3.4 Svar 7c
Lösning 7c
3.4 Lösning 7c
Lösning 7d
3.4 Lösning 7d


Övning 8

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \]

a)   Bestäm funktionens alla ev. lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b)   Hitta funktionens alla inflexionspunkter samt deras koordinater.

c)   Rita grafen till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

Markera inflexionspunkterna i båda graferna.
Förklara varför derivatan har sina extrema i funktionens inflexionspunkter.

Ange alla numeriska svar med tre decimaler.

Svar 8a
3.4 Svar 8a
Lösning 8a
Denna lösning ingår inte i demon.
Svar 8b
3.4 Svar 8b
Lösning 8b
Denna lösning ingår inte i demon.
Lösning 8c
3.4 Lösning 8c





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=3.4_Övningar_till_Kurvkonstruktioner&oldid=24871"