Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"

Versionen från 28 januari 2015 kl. 14.32 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m (→‎Exempel 3 Konservburk) ← Äldre redigering		Nuvarande version från 14 december 2022 kl. 16.13 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m
(270 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2:		Rad 2:
	| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  		| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
	{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}		{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
−	{{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}}	+	{{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}}
	{{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}		{{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
−	{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}	+	{{Not selected tab|[[Detta diagnosprov ingår inte i demon.|<span style="color:red">Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.</span>]]}}
		+	<!-- {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.]]}} -->
		+	{{Not selected tab|[[Dessa lösningar ingår inte i demon.|<span style="color:red">Lösningar till diagnosprov kap 3</span>]]}}
		+	<!-- {{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar till diagnosprov kap 3]]}} -->
	| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;		| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
	|}		|}
−	[[Media: Lektion 33 Extremvärdesproblem I Ruta.pdf|Lektion 33 Extremvärdesproblem I]]	+	[[Media: Lektion 33 Extremvardesproblem I Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 33 Extremvärdesproblem I</span></strong>]]
−	[[Media: Lektion 34 Extremvärdesproblem II Ruta.pdf|Lektion 34 Extremvärdesproblem II]]	+	[[Media: Lektion 34 Extremvardesproblem II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 34 Extremvärdesproblem II</span></strong>]]
		+	__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
		+	<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
		+	== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Rektangel i parabel</span></b> ==
		+	<big>
		+	<table>
		+	<tr>
		+	<td>En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
−	__TOC__	+	:::<math> y \, = \, -\,{\, \frac{x^2}{2}} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 </math>
		+	Punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så
−	== Exempel 1 Glasskiva (rektangel i triangel) ==	+	att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir så stor som möjligt.
		+
		+
		+	a) &nbsp; Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>.
		+
		+	b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> antar ett maximum.
		+
		+	c) &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.
		+	</td>
		+	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]]
		+
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</big>
		+	</div> <!-- exempel1 -->
		+
		+
		+	'''Lösning:'''
		+
		+	'''a)''' &nbsp; Rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math>
		+
		+	Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> elimineras.
		+
		+	Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> uppfylla parabelns ekvation som kallas för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong><span style="color:black">:</span>
		+
		+	<div style="border:1px solid black;
		+	display:inline-block !important;
		+	margin-left: 30px !important;
		+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, \frac{x^2}{2}} \, + \, 5 </math></strong></div>
		+
		+	<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;">
		+	<big>'''Bivillkor för ett extremvärdesproblem''':
		+
		+
		+	Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband mellan problemets variabler och bestäms av problemets <u>givna</u>
		+
		+	geometriska eller andra egenskaper. Ibland kallas det även för <strong><span style="color:red">tvångsvillkor</span></strong> (eng. <i>constraint</i>).
		+
		+	Tvångsvillkor, därför att man är tvungen att uppfylla bivillkoret.
		+	</big></div>
		+
		+
		+	I vårt exempel är bivillkoret parabelns ovan angivna ekvation, för punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> måste följa parabeln.
		+
		+	Vi använder detta bivillkor för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.
		+
		+	Därför sätter vi in bivillkoret i <math> \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>. På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av <math> \, x </math>:
		+
		+	::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
		+
		+	Den erhållna funktionen av <u>en</u> variabel kallas för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong>:
		+
		+	<div style="border:1px solid black;
		+	display:inline-block !important;
		+	margin-left: 30px !important;
		+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math>
		+
		+	Det är denna målfunktion som ska maximeras. Definitionsintervallets vänstra ända <math> \, 0 \, </math> är motiverad av att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan bli negativ.
		+
		+	Definitionsintervallets högra ända <math> \, \sqrt{10} \, </math> ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen till ekvationen <math> \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, </math>.
		+
		+
		+	<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;">
		+	<big>'''Målfunktion för ett extremvärdesproblem''':
		+
		+
		+	Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras (eng. <i>objective function</i>).
		+
		+	Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion, där bivillkoret används för att reducera målfunktionen
		+
		+	till en funktion av endast en variabel.
		+	</big></div>
		+
		+
		+	I vårt exempel gäller det att maximera målfunktionen <math> \, A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, </math> som med hjälp av bivillkoret redan är reducerad till en funktion av endast <math> \, x </math>.
		+	----
		+
		+
		+	'''b)''' &nbsp; Resten av uppgiften <math>-</math> att maximera <math> \, A(x)</math> och bestämma rektangelns maximala area <math>-</math> kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.
		+
		+	För att lösa den första uppgiften börjar vi med att derivera <math> \, A(x) </math>:
		+
		+	::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
		+
		+	::<math> A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 </math>
		+
		+	::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math>
		+
		+	Derivatans nollställe:
		+
		+	::<math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0      \\
		+	&  &                10 & = & 3\,x^2 \\
		+	&  &      {10 \over 3} & = & x^2    \\
		+	&  &          x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\
		+	&  &                x_1 & = & 1,83 \\
		+	&  &                x_2 & = & -1,83
		+	\end{array}</math>
		+
		+	Pga målfunktionens definitionsmängd (<math> 0 \leq x \leq \sqrt{10} </math>, se b)) förkastas <math> \, x_2 = -1,83 \, </math> medan <math> \, x_1 = 1,83 \, </math> ligger inom definitionsmängden.
		+
		+	Andraderivatans tecken för <math> \, x = 1,83 \, </math><span style="color:black">:</span>
		+
		+	<math> A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 1,83 \, </math>.
		+
		+	För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
		+	----
		+
		+
		+	'''c)''' &nbsp; För att bestämma rektangelns maximala area behöver vi bara sätta in <math> \, x = 1,83 \, </math> i målfunktionen <math> \, A(x) \, </math> därför att den antar sitt maximum där:
		+
		+	::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>
		+
		+	::<math> A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math>
		+
		+	&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Rektangelns maximala area är <math> \, 12,17 \, </math>.
		+
		+
		+	<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
		+	== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)</span></b> ==
		+	<big>
	<table>		<table>
	<tr>		<tr>
	<td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:		<td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
−	Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area	+	Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut.
−	<math> \, A(x) \, </math> blir maximal.	+	a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
−	a) &nbsp; Ställ upp arean <math> \, A(x) \, </math> som en funktion av <math> \, x \, </math> med <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \; </math>.	+	b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd.
−	b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att arean <math> \, A(x) \, </math> blir så stor som möjligt.	+	c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> maximeras.
−	c) &nbsp; Beräkna glasplattans maximala area.	+	d) &nbsp; Beräkna glasplattans maximala area.
	</td>		</td>
−	<td>&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]</td>	+	<td>&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
−	'''Lösning:'''	+	</big>
		+	</div> <!-- exempel2 -->
−	a) &nbsp; Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math>
−	Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math>, så att <math> \, {\color{Red} y} \, </math> kan elimineras från <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math>. Det finns ett samband mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math>.	+	'''Lösning:'''
		+
		+	'''a)''' &nbsp; Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math>
−	Detta samband bestäms rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.	+	För att skriva om funktionen ovan till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math>, så att <math> \, {\color{Red} y} \, </math> kan elimineras. Sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.
	<table>		<table>
Rad 56:		Rad 191:
	Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math>		Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math>
−	Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black;	+	Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span>
		+
		+	:::<div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;		display:inline-block !important;
−	margin-left: 10px !important;	+	margin-left: 52px !important;
	padding:10px 10px 10px 10px;		padding:10px 10px 10px 10px;
	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div>		-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div>
−	Denna ekvation är det önskade sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \,</math>.
	</td>		</td>
−	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]</td>	+	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
		+	Detta samband mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \,</math> är problemets bivillkor.
		+	----
−	Inom [http://sv.wikipedia.org/wiki/Optimeringsl%C3%A4ra <strong><span style="color:blue">optimeringslära</span></strong>] <math>-</math> den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner <math>-</math> kallas det erhållna sambandet för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> (eng. <i>constraint</i>). Bivillkoren bestäms av problemets geometriska eller andra omständigheter som är givna och oföränderliga. Därför kallas de även för tvångsvillkor.
−	Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan <math>-</math> sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} -</math> sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math> och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>:	+	'''b)''' &nbsp; Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math> och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>:
	::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>		::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
−	I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av <u>en</u> variabel för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> (eng. <i>objective function</i>):	+	Målfunktionen är<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black;
−		+
−	<div style="border:1px solid black;	+
	display:inline-block !important;		display:inline-block !important;
−	margin-left: 50px !important;	+	margin-left: 25px !important;
	padding:10px 10px 10px 10px;		padding:10px 10px 10px 10px;
−	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div>	+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad  0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,</math>.
−	Ett problems målfunktion är alltid den som ska optimeras dvs maximeras eller minimeras. I vårt exempel gäller det att maximera denna målfunktion.
−	Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
	----		----
−	b) &nbsp; Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.	+	'''c)''' &nbsp; För att maximera målfunktionen börjar vi med att derivera den:
	::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>		::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
Rad 103:		Rad 236:
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
−	Andraderivatans tecken för <math> \, x = 15 \, </math>:	+	<math> \, x = 15 \, </math> ligger inom målfunktionens definitionsmängd.
−	::<math> A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 </math>	+	Andraderivatans tecken för <math> \, x = 15 \, </math><span style="color:black">:</span>
−	Andraderivatan är negativ för <math> \, x = 15 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 15 \, </math>.	+	<math> A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 15 \, </math>.
−	För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs arean blir maximal.	+	För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.
	----		----
−	c) &nbsp; Eftersom rektangeln får sin största arean för <math> \, x = 15 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 15 \, </math> i målfunktionen för att få största arean:	+	'''d)''' &nbsp; Eftersom rektangeln får sin största area för <math> \, x = 15 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 15 \, </math> i målfunktionen för att få största arean:
		+
		+	::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math>
	::<math> A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 </math>		::<math> A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 </math>
Rad 120:		Rad 255:
−	== Exempel 2 Rektangel i parabel ==	+	<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
−		+	== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Konservburk</span></b> ==
		+	<big>
	<table>		<table>
	<tr>		<tr>
−	<td>En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:	+	<td>För att producera en cylinderformad konservburk har man <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math> plåt
−	::::::<math> y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math>	+	till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>.
−	Rektangelns area <math> \, A \, </math> ska maximeras.	+	Maximera konservburkens volym.
−	a) &nbsp; Vad är problemets bivillkor?	+	a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
−	b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion samt definitionsmängd.	+	b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion.
−	c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir maximal.	+	c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal.
−	d) &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.	+	d) &nbsp; Ange målfunktionens definitionsmängd.
		+
		+	:Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen.
		+
		+	e) &nbsp; Beräkna konservburkens maximala volym.
		+
		+	f) &nbsp; Vilket samband råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math>
		+
		+	:när volymen maximeras?
		+	</td>
		+	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
		+	<td>[[Image: Konservburk_40a.jpg]]</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</big>
		+	</div> <!-- exempel3 -->
	'''Lösning:'''		'''Lösning:'''
		+	<table>
		+	<tr>
		+	<td>'''a)''' &nbsp; Begränsningsarean <math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math>
		+	::<math>\begin{array}{rcl}  2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500  \\
		+	2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2  \\
		+	h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\
		+	h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r
		+	\end{array}</math>
		+
		+	Därmed är bivillkoret: <div style="border:1px solid black;
		+	display:inline-block !important;
		+	margin-left: 25px !important;
		+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math></strong></div>
	</td>		</td>
−	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>	+	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
−	<td>[[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]]</td>	+	<td>[[Image: Zylinder01.gif]]</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
−	a) &nbsp; Problemets bivillkor är parabelns ekvation ovan som bestäms av att rektangelns "rörliga" hörn <math> (x, \, y) </math> är bundet till och måste röra sig på parabeln.	+
	----		----
−	b) &nbsp; Problemets målfunktion är rektangelns area som ska maximeras. Den kan skrivas som <math> \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math>	+	'''b)''' &nbsp; Cylinderns volym <math> \, V \, </math> är basytan <math> \times </math> höjden dvs<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, </math>
−	För att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \, </math> sätter vi in bivillkoret från a) i <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math>:	+	För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i <math> \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, </math> och eliminerar <math> \, {\color{Red} h} \, </math>:
−	::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left(-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>	+	:::<math> V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r  \, - \, \pi\,r^3 </math>
−	Därmed är problemets målfunktion: <div style="border:1px solid black;	+	Därmed är målfunktionen: <div style="border:1px solid black;
	display:inline-block !important;		display:inline-block !important;
	margin-left: 25px !important;		margin-left: 25px !important;
	padding:10px 10px 10px 10px;		padding:10px 10px 10px 10px;
−	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math>	+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math></strong></div>
−		+
−	Definitionsmängden är motiverad å ena sidan av att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan bli negativ, å andra sidan av lösningen till ekvationen <math> \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, </math> dvs parabelns nollställe <math> \, x = \sqrt{10} \, </math>, se figuren ovan.	+
Rad 169:		Rad 332:
−	c) &nbsp; Vi deriverar målfunktionen:	+	'''c)''' &nbsp; Målfunktionen maximeras:
−	::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math>	+	::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math>
−	::<math> A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 </math>	+	::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math>
−	::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math>	+	::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math>
	Derivatans nollställe:		Derivatans nollställe:
−	::<math>\begin{array}{rcrcl}  A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0      \\	+	::<math>\begin{array}{rcrcl}  V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0      \\
−	&  &                 10 & = & 3\,x^2 \\	+	&  &                     250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\
−	&  &       {10 \over 3} & = & x^2    \\	+	&  &     {250 \over 3\,\pi} & = & r^2    \\
−	&  &           x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\	+	&  &               r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\
−	&  &                x_1 & = & 1,83 \\	+	&  &                       r & = & 5,15
−	&  &               x_2 & = & -1,83	+
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
−	Pga målfunktionens definitionsmängd förkastas <math> \, x_2 = -1,83 \, </math>.	+	<math> \, r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ<span style="color:black">:</span> <math> \, r \, > \, 0 \, </math> .
−	Andraderivatans tecken för <math> \, x = 1,83 \, </math><span style="color:black">:</span>	+	Andraderivatans tecken för <math> \, r = 5,15 \, </math><span style="color:black">:</span>
−	<math> A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 1,83 \, </math>.	+	<math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
		+
		+	För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span>
−	För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.	+	<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15  \, = \, 10,30 </math>
		+
		+	Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>.
	----		----
−	d) &nbsp; Eftersom rektangelns area blir maximal för <math> \, x = 1,83 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 1,83 \, </math> i målfunktionen för att få största arean:	+	'''d)''' &nbsp; För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret:
−	::<math> A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math>	+	:::::<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math>
−	&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Rektangelns maximala area är <math> \, 12,17 \, </math>.	+	Av detta framgår att <math> \; r \; </math> inte får vara <math> \, 0 \, </math><span style="color:black">:</span> <math> \; r \, \neq \, 0 \; </math>.
		+	Dessutom kan <math> \; r \; </math> som en längd inte vara negativ. Därför är <math> \, 0 \, </math> en undre gräns för <math> \, r \, </math>:
−	== Exempel 3 Konservburk ==	+	:::::<math> r \, > \, 0 </math>
−	<table>	+	För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för <math> \; r \; </math> tittar vi på cylinderns begränsningsarea:
−	<tr>	+
−	<td>För att producera en cylinderformad konservburk har man <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math> material	+
−	till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>.	+	:::::<math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math>
−	Maximera konservburkens volym.	+	Pga begränsningsareans konstanta värde <math> \, 500 \, </math> blir cylinderns radie störst när höjden blir <math> \, 0 \, </math>.
−	a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.	+	Därför får vi radiens största värde <math> \, r_{max} \, </math> om vi i formeln ovan väljer <math> \, h=0 \, </math>:
−	b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion samt definitionsmängd.	+	:::::<math> \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 </math>
−	c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal.	+	Varav följer:
−	d) &nbsp; Beräkna konservburkens maximala volym.	+	:::::<math> \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 </math>
−	e) &nbsp; Vad blir förhållandet mellan radien och höjden när volymen maximeras?	+	Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:
−	</td>	+
−	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>	+
−	<td>[[Image: Konservburk_40.jpg]]</td>	+
−	</tr>	+
−	</table>	+
−	'''Lösning:'''	+	::::<div style="border:1px solid black;
−	<table>	+	display:inline-block !important;
−	<tr>	+	margin-left: 25px !important;
−	<td>a) &nbsp; Begränsningsarean <math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math>	+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 </math></strong></div>
−	:<math>\begin{array}{rcl}  2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500  \\	+	Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av <math> \, r \, </math> med definitionsmängden ovan:
−	2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2  \\	+
−	h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\	+	[[Image: Konservburk Grafer.jpg]]
−	\qquad {\rm Bivillkoret:} \quad\quad                h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r	+
−	\end{array}</math>	+	Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för <math> \, r = 5,15 \, </math>.
−	</td>	+
−	<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>	+	Bivillkorets graf visar att <math> \, r \, </math> inte kan bli större än <math> \, 8,92 \, </math>, medan <math> \, h \, </math> kan växa obegränsat när <math> \, r \, </math> går mot <math> \, 0 \, </math>.
−	<td>[[Image: Zylinder01.gif]]</td>	+
−	</tr>	+
−	</table>	+
	----		----
−	b) &nbsp; Cylinderns volym <math> \, V \, </math> kan skrivas som &nbsp; basytan <math> \times \, </math> höjden, dvs:	+	'''e)''' &nbsp; Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:
		+
		+	::<math> V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 </math>
		+
		+	&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Konservburkens maximala volym blir <math> \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; </math>.
		+	----
		+
		+
		+	'''f)''' &nbsp; Följande samband råder mellan cylinderns radie <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och dess höjd <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math> när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>, maximeras:
		+
		+	::::<div style="border:1px solid black;
		+	display:inline-block !important;
		+	margin-left: 25px !important;
		+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 2 \; r \; = \; h </math></strong></div>
		+
		+	Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien <math> \; r \; </math> och höjden <math> \; h \; </math> för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym:
		+
		+	::<div style="border:1px solid black;
		+	display:inline-block !important;
		+	margin-left: 23px !important;
		+	padding:10px 10px 10px 10px;
		+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong> Diametern <math> \; = \; </math> Höjden </strong></div>
		+
		+	Denna fråga är föremål för undersökning i [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_9|<strong><span style="color:blue">övning 9</span></strong>]]. En annan intressant frågeställning är:
		+
		+	Råder även samma samband <math> \; 2 \, r \, = \, h \; </math> om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?
		+
		+	En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.
		+
		+
		+	== Ett ekonomiskt exempel ==
		+
		+	Se [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_7|<strong><span style="color:blue">övning 7</span></strong>]].
		+
		+
		+
		+
		+
		+
−	:::::<math> \quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, </math>
−	För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion <math> \, V\,(r) \, </math> av endast en variabel, nämligen <math> \, r \, </math>, sätter vi in problemets bivillkor som vi formulerade i a) i funktionen ovan, så att <math> \, {\color{Red} h} \, </math> kan elimineras:	+	[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

---

Nuvarande version från 14 december 2022 kl. 16.13

<-- Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.

Lösningar till diagnosprov kap 3

Lektion 33 Extremvärdesproblem I

Lektion 34 Extremvärdesproblem II

Lösning:

a)   Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)

Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.

Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) uppfylla parabelns ekvation som kallas för problemets bivillkor:

I vårt exempel är bivillkoret parabelns ovan angivna ekvation, för punkten \( \, (x,\,y) \, \) måste följa parabeln.

Vi använder detta bivillkor för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.

Därför sätter vi in bivillkoret i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

Den erhållna funktionen av en variabel kallas för problemets målfunktion:

         med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \)

Det är denna målfunktion som ska maximeras. Definitionsintervallets vänstra ända \( \, 0 \, \) är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ.

Definitionsintervallets högra ända \( \, \sqrt{10} \, \) ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \).

I vårt exempel gäller det att maximera målfunktionen \( \, A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, \) som med hjälp av bivillkoret redan är reducerad till en funktion av endast \( \, x \).

---

b)   Resten av uppgiften \(-\) att maximera \( \, A(x)\) och bestämma rektangelns maximala area \(-\) kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten.

För att lösa den första uppgiften börjar vi med att derivera \( \, A(x) \):

\[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]

Pga målfunktionens definitionsmängd (\( 0 \leq x \leq \sqrt{10} \), se b)) förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \) medan \( \, x_1 = 1,83 \, \) ligger inom definitionsmängden.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):

\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.

---

c)   För att bestämma rektangelns maximala area behöver vi bara sätta in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen \( \, A(x) \, \) därför att den antar sitt maximum där:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]

     Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).

Lösning:

a)   Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)

För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras. Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är: \[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \] Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då: \( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \)

Detta samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\) är problemets bivillkor.

---

b)   Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

Målfunktionen är:        med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,\).

---

c)   För att maximera målfunktionen börjar vi med att derivera den:

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]

\( \, x = 15 \, \) ligger inom målfunktionens definitionsmängd.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).

För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.

---

d)   Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]

     Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).

Lösning:

a)   Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \) \[\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r \end{array}\] Därmed är bivillkoret: \( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)

---

b)   Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)

För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):

\[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]

Därmed är målfunktionen:

---

c)   Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]

\[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]

\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\]

\( \, r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = 5,15 \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).

---

d)   För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret:

\[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \]

Av detta framgår att \( \; r \; \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \).

Dessutom kan \( \; r \; \) som en längd inte vara negativ. Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns för \( \, r \, \):

\[ r \, > \, 0 \]

För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:

\[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]

Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).

Därför får vi radiens största värde \( \, r_{max} \, \) om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \, \):

\[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 \]

Varav följer:

\[ \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]

Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:

\( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)

Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av \( \, r \, \) med definitionsmängden ovan:

Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \, \).

Bivillkorets graf visar att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \, \), medan \( \, h \, \) kan växa obegränsat när \( \, r \, \) går mot \( \, 0 \, \).

---

e)   Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:

\[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]

     Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).

---

f)   Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \) när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:

\( 2 \; r \; = \; h \)

Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym:

Diametern \( \; = \; \) Höjden

Denna fråga är föremål för undersökning i övning 9. En annan intressant frågeställning är:

Råder även samma samband \( \; 2 \, r \, = \, h \; \) om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?

En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.

Ett ekonomiskt exempel

Se övning 7.

Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.