Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"

Från mattekollen
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 1)
m
 
(255 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 3: Rad 3:
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
−
<!-- {{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|   Nästa avsnitt]]}} -->  
+
{{Not selected tab|[[Detta diagnosprov ingår inte i demon.|<span style="color:red">Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.</span>]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[Dessa lösningar ingår inte i demon.|<span style="color:red">Lösningar till diagnosprov kap 3</span>]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar till diagnosprov kap 3]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
 
  
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#A4A4A4">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 1 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>För vilken punkt <math> \, P \, </math> har den skuggade rektangeln i figuren maximal area?
+
   <td>I figuren till höger rör sig punkten <math> \, P \, </math> på den räta linje vars ekvation är:
  
−
Den räta linjens ekvation är:
+
:::::<math> y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 </math>
  
−
::::<math> y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 </math>
+
Vilken position av <math> \, P \, (x, \, y) \, </math> ger maximal area till den skuggade rektangeln?
  
−
a) &nbsp; Vad är problemets bivillkor?
+
a) &nbsp; Vad är problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]]?
  
−
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion och ange dess definitionsmängd.
+
b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] som en funktion av endast en variabel.
  
−
c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till punkten <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal.
+
c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal.
  
 
d) &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.
 
d) &nbsp; Beräkna rektangelns maximala area.
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 351.gif]]
+
   <td>&nbsp; [[Image: Ovn 351.gif]]
 
</td>
 
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.5 Svar 1a|Svar 1b|3.5 Svar 1b|Lösning 1b|3.5 Lösning 1b|Svar 1c|3.5 Svar 1c|Lösning 1c|3.5 Lösning 1c|Svar 1d|3.5 Svar 1d|Lösning 1d|3.5 Lösning 1d}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}
 
  
−
== Övning 2 ==
+
<div class="ovnE">
−
<div class="ovning">
+
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
−
a) &nbsp; Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>:
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En rektangel har omkretsen <math> \, 12 \, {\rm  cm} \, </math>. Maximera rektangelns area.
  
−
                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;">
+
a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
−
  <tr>
+
−
    <td><math>x</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
    <td><math>-1</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
  </tr>
+
−
  <tr>
+
−
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
+
−
    <td><math> - </math></td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td><math> + </math></td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td><math> - </math></td>
+
−
  </tr>
+
−
  <tr>
+
−
    <td><math> f(x) </math></td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
−
    <td>                  ?                            </td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
+
−
    <td>                  ?                            </td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
−
  </tr>
+
−
</table>
+
  
−
:&nbsp;Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
+
b) &nbsp; Ange problemets målfunktion.
  
−
b) &nbsp; Lös övning 1a, men använd här en [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_teckenstudium|<strong><span style="color:blue">teckentabell</span></strong>]] för att visa att du hittat maximipunkten.
+
c) &nbsp; Bestäm sidorna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> så att rektangelns area blir maximal.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.2 Svar 2a|Lösning 2b|3.2 Lösning 2b}}
+
d) &nbsp; Vad blir rektangelns maximala area?
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.5 Svar 2a|Lösning 2a|3.5 Lösning 2a|Svar 2b|3.5 Svar 2b|Lösning 2b|3.5 Lösning 2b|Svar 2c|3.5 Svar 2c|Lösning 2c|3.5 Lösning 2c|Svar 2d|3.5 Svar 2d}}</div>
  
−
== Övning 3 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:
 
  
−
::::<math> h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t </math>
+
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En rektangels area är <math> \, 25 \, {\rm  cm}^2 \, </math>. Minimera rektangelns omkrets.
  
−
där <math> {\color{White} x} \; h\, = \, </math> kulans höjd över marken i meter
+
a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
  
−
<math> {\color{White} {xxxx}} t\, = \, </math> tiden efter kastet i sekunder
+
b) &nbsp; Ange problemets målfunktion.
  
−
a) &nbsp; När når kulan sin högsta höjd?
+
c) &nbsp; Bestäm sidorna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> så att rektangelns omkrets blir minimal.
−
+
−
:&nbsp;Bevisa med en av reglerna ([[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivatan</span></strong>]] eller [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_teckenstudium|<strong><span style="color:blue">teckentabell</span></strong>]]) att du hittat maximipunkten.
+
  
−
b) &nbsp; Hur högt når kulan?
+
d) &nbsp; Vad blir rektangelns minimala omkrets?
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.5 Svar 3a|Lösning 3a|3.5 Lösning 3a|Svar 3b|3.5 Svar 3b|Lösning 3b|3.5 Lösning 3b|Svar 3c|3.5 Svar 3c|Lösning 3c|3.5 Lösning 3c|Svar 3d|3.5 Svar 3d}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.2 Svar 3a|Lösning 3a|3.2 Lösning 3a|Svar 3b|3.2 Svar 3b|Lösning 3b|3.2 Lösning 3b}}
 
  
−
== Övning 4 ==
+
<div class="ovnE">
−
<div class="ovning">
+
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>Följande funktion är definierad genom:
+
   <td>En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:
  
−
:::<math> y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>
+
Parabeln är definierad genom:  
  
−
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d):
+
:::<math> y \, = \, 6 \, x \, - \, x^2 \qquad {\rm med} \qquad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 6 </math>
  
−
a) &nbsp; Hur många extrempunkter har <math> \,f(x) \, </math>?
+
Punkten <math> \, P\,(x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln.
  
−
b) &nbsp; För vilka <math> \,x </math> är funktionens derivata <math> \, = \, 0 </math> ? Motivera!
+
Vilken position av <math> \, P \, </math> ger triangeln största möjliga arean <math> \, A \, </math>?
  
−
c) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.
+
a) &nbsp; Ange problemets bivillkor.  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
+
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion som en funktion <math> \, A(x) \, </math>.
  
−
d) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.
+
c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att triangelns area blir maximal.  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
+
d) &nbsp; Beräkna triangelns maximala area.
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 4.jpg]]
+
   <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 354.jpg]]
  
 
</td>
 
</td>
Rad 121: Rad 112:
 
</table>
 
</table>
  
−
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.5 Svar 4a|Svar 4b|3.5 Svar 4b|Lösning 4b|3.5 Lösning 4b|Svar 4c|3.5 Svar 4c|Lösning 4c|3.5 Lösning 4c|Svar 4d|3.5 Svar 4d|Lösning 4d|3.5 Lösning 4d}}</div>
  
−
e) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x)\, </math>.
+
<div class="ovnE">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-
  
−
f) &nbsp; Beräkna derivatan <math> \, f\,'(x)</math>:s nollställen.
+
gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på <math> \, 9 \; {\rm m} \, </math> (rött)
  
−
g) &nbsp; Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
+
och pinnar i marken enligt figuren.
  
−
:&nbsp;Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
+
Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.2 Svar 4a|Svar 4b|3.2 Svar 4b|Svar 4c|3.2 Svar 4c|Svar 4d|3.2 Svar 4d|Svar 4e|3.2 Svar 4e|Svar 4f|3.2 Svar 4f|Lösning 4f|3.2 Lösning 4f|Svar 4g|3.2 Svar 4g|Lösning 4g|3.2 Lösning 4g}}
+
sina får?
  
−
== Övning 5 ==
+
a) &nbsp; Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>.
−
<div class="ovning">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 </math>
+
b) &nbsp; Ange målfunktionens definitionsmängd.
  
−
a) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x) \, </math> och beräkna dess nollställen.
+
c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att stängselns area blir maximal.  
  
−
b) &nbsp; Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen <math> \, f(x)</math>:s maxima resp. minima.
+
d) &nbsp; Beräkna stängselns maximala area.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange alla maximi- och minimipunkter.
+
e) &nbsp; Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det.
  
−
c) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
+
f) &nbsp; Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som
  
−
:&nbsp;Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
+
:skulle kunna maximera stängselns area bättre?
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.2 Svar 5a|Lösning 5a|3.2 Lösning 5a|Svar 5b|3.2 Svar 5b|Lösning 5b|3.2 Lösning 5b|Lösning 5c|3.2 Lösning 5c}}
+
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 355_80.jpg]]
  
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övningar: 6-8</span></Big></Big></Big>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.5 Svar 5a|Lösning 5a|3.5 Lösning 5a|Svar 5b|3.5 Svar 5b|Svar 5c|3.5 Svar 5c|Lösning 5c|3.5 Lösning 5c|Svar 5d|3.5 Svar 5d|Lösning 5d|3.5 Lösning 5d|Svar 5e|3.5 Svar 5e|Lösning 5e|3.5 Lösning 5e|Svar 5f|3.5 Svar 5f}}</div>
  
  
−
== Övning 6 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Följande är grafen till derivatan <math> {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} </math> av en funktion <math> \, y = f(x) \, </math>:
 
  
−
:[[Image: Ovn 3_2_6.jpg]]
 
  
−
Besvara följande frågor om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> genom att använda information från derivatans graf (ovan):
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-7</span></Big></Big></Big>
  
−
a) &nbsp; Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> i derivatans nollställe?
 
  
−
b) &nbsp; Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
+
<div class="ovnC">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på <math> \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, </math>.
  
−
c) &nbsp; Rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.
+
Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden <math> \, x \, </math> från karton-
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.2 Svar 6a|Svar 6b|3.2 Svar 6b|Lösning 6c|3.2 Lösning 6c}}
+
gens fyra hörn enligt figuren.
  
−
== Övning 7 ==
+
Hur ska du välja <math> \, x \, </math> för att få den största möjliga volymen <math> \, V \, </math> för din
−
<div class="ovning">
+
−
Följande är grafen till derivatan <math> {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} </math> av en funktion <math> \, y = f(x) \, </math>:
+
−
:[[Image: Ovn 3_2_7.jpg]]
+
  
−
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen ovan:
+
öppna låda?
  
−
a) &nbsp; Vilka slutsatser kan man dra om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.
+
a) &nbsp; Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se [[3.5_Lösning_5e|<strong><span style="color:blue">Lösning 5 e)</span></strong>]].
  
−
b) &nbsp; Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.
+
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(x) \, </math>.
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.2 Svar 7a|Lösning 7a|3.2 Lösning 7a|Lösning 7b|3.2 Lösning 7b}}
+
  
−
== Övning 8 ==
+
c) &nbsp; Ange målfunktionens definitionsmängd.
−
<div class="ovning">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} </math>
+
d) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att lådans volym <math> \, V(x) \, </math> blir maximal.
  
−
a) &nbsp; Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.  
+
e) &nbsp; Beräkna lådans maximala volym.
  
−
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem. Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
+
f) &nbsp; Vilka mått har lådan med maximal volym?
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.2 Svar 8|Lösning 8a|3.2 Lösning 8|Lösning 8b|3.2 Lösning 8b}}
+
  
 +
Ange dina svar med två decimaler.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 356 Oppen lada_1_80.jpg]]
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">A-övningar: 9-11</span></Big></Big></Big>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 356 Oppen lada_2_80.jpg]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.5 Svar 6a|Lösning 6a|3.5 Lösning 6a|Svar 6b|3.5 Svar 6b|Lösning 6b|3.5 Lösning 6b|Svar 6c|3.5 Svar 6c|Lösning 6c|3.5 Lösning 6c|Svar 6d|3.5 Svar 6d|Lösning 6d|3.5 Lösning 6d|Svar 6e|3.5 Svar 6e|Lösning 6e|3.5 Lösning 6e|Svar 6f|3.5 Svar 6f|Lösning 6f|3.5 Lösning 6f}}</div>
  
−
== Övning 9 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
a) &nbsp; Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen
 
  
−
::::<math> y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x </math>
+
<div class="ovnC">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
 +
SJ har <math> \, 20\,000 \, </math> passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på <math> \, 200 \, </math> kr.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; får ett maximum i punkten <math> \, (-1, 7) \, </math> och dessutom ett minimum för <math> \, x = 2 \, </math>.
+
En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med <math> \, 1 \, </math> kr skulle medföra en förlust av <math> \, 80 \, </math> passagerare per månad.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>.
+
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
  
−
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
+
a) &nbsp; Ange problemets bivillkor om:
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
+
:::<math> x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} </math>
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.2 Svar 9a|Lösning 9a|3.2 Lösning 9a|Lösning 9b|3.2 Lösning 9b}}
+
  
−
== Övning 10 ==
+
:::<math> y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} </math>
−
<div class="ovning">
+
−
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:
+
  
−
:::[[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]
+
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktionen <math> \, I(x) \, </math> för SJ:s intäkt per månad.
−
På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area <math> \, A(x) \, </math> blir maximal.
+
  
−
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x) \, </math> som endast beror av <math> \, x \, </math>.
+
c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att intäkten <math> \, I(x) \, </math> blir så stor som möjligt.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b>Tips</b>: &nbsp; Kalla rektangelns andra sida för t.ex. <math> \, y \,</math>. Ställ upp ett samband mellan <math> \, y \,</math> och <math> \, x \, </math>.
+
d) &nbsp; Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på <math> \, x \, </math> kr.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.
+
e) &nbsp; För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.5 Svar 7a|Lösning 7a|3.5 Lösning 7a|Svar 7b|3.5 Svar 7b|Lösning 7b|3.5 Lösning 7b|Svar 7c|3.5 Svar 7c|Lösning 7c|3.5 Lösning 7c|Svar 7d|3.5 Svar 7d|Lösning 7d|3.5 Lösning 7d|Svar 7e|3.5 Svar 7e|Lösning 7e|3.5 Lösning 7e}}</div>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på <math> x</math>- och den kortare på <math> y</math>-axeln
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.
 
  
−
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.
 
  
−
c) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen <math> A(x) </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-9</span></Big></Big></Big>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10a|3.2 Svar 10a|Lösning 10a|3.2 Lösning 10a|Svar 10b|3.2 Svar 10b|Lösning 10b|3.2 Lösning 10b|Lösning 10c|3.2 Lösning 10c}}
 
  
−
== Övning 11 ==
+
<div class="ovnA">
−
<div class="ovning">
+
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
−
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:  
  
−
:::[[Image: Ovn 3_2_11_40.jpg]]
+
:::<math> R \, = \, {\rm Radien\;till\;kons\;bascirkel\;} \, = \, 15 \; {\rm cm} </math>
−
där <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> är kateternas konstanta längder, dvs <math> \, a > 0 \, </math> och <math> \, b > 0 \, </math>.
+
  
−
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x, a, b) </math>. <b>Tips</b>: se övn. 10.
+
:::<math> H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm} </math>
  
−
Behandla i fortsättningen arean som en funktion <math> \, A(x) \, </math> av endast variabeln <math> \, x \, </math>. Betrakta <math> \, a, b\, </math> som konstanter.
+
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym <math> \, V \, </math>?
  
−
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer <math> \, x \, </math> att vara ett uttryck i <math> \, a \, </math> resp. <math> \, b \, </math>.
+
a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren.
 +
 
 +
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(r) \, </math> där <math> r = </math> cylinderns radie.
 +
 
 +
c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie <math> \, r \, </math> och höjd <math> \, h \, </math> så att volymen blir maximal.
 +
 
 +
d) &nbsp; Beräkna cylinderns maximala volym.
 +
 
 +
e) &nbsp; Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math>
 +
 
 +
:när volymen maximeras?
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 358_140.jpg]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.5 Svar 8a|Lösning 8a|3.5 Lösning 8a|Svar 8b|3.5 Svar 8b|Lösning 8b|3.5 Lösning 8b|Svar 8c|3.5 Svar 8c|Lösning 8c|3.5 Lösning 8c|Svar 8d|3.5 Svar 8d|Lösning 8d|3.5 Lösning 8d|Svar 8e|3.5 Svar 8e|Lösning 8e|3.5 Lösning 8e}}</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd <math> \, A \, </math>
 +
 
 +
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>.
 +
 
 +
I teoridelen, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift med <math>A=500</math>.
 +
 
 +
Här ska den lösas generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>.
 +
 
 +
Vilka mått på konserven maximerar volymen?
 +
 
 +
a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
 +
 
 +
b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktion.
 +
 
 +
c) &nbsp; Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal.
 +
 
 +
d) &nbsp; Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:
 +
 
 +
:För en cylinder med maximal volym gäller för radien <math> \, r \, </math> och höjden <math> \, h \, </math>:
 +
  </td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Konservburk_40a.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
:::::::::<math> 2 \; r \; = \; h </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.5 Svar 9a|Lösning 9a|3.5 Lösning 9a|Svar 9b|3.5 Svar 9b|Lösning 9b|3.5 Lösning 9b|Svar 9c|3.5 Svar 9c|Lösning 9c|3.5 Lösning 9c|Svar 9d|3.5 Svar 9d|Lösning 9d|3.5 Lösning 9d}}</div>
  
−
c) &nbsp; Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena <math> \, a = 20 \, </math> och <math> \, b = 30 \, </math> från övn. 10.
 
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|3.2 Svar 11a|Lösning 11a|3.2 Lösning 11a|Svar 11b|3.2 Svar 11b|Lösning 11b|3.2 Lösning 11b|Lösning 11c|3.2 Lösning 11c}}
 
  
  
Rad 260: Rad 296:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 18 maj 2015 kl. 01.05

       <-- Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.          Lösningar till diagnosprov kap 3      


E-övningar: 1-5


Övning 1

I figuren till höger rör sig punkten \( \, P \, \) på den räta linje vars ekvation är:
\[ y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 \]

Vilken position av \( \, P \, (x, \, y) \, \) ger maximal area till den skuggade rektangeln?

a)   Vad är problemets bivillkor?

b)   Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel.

c)   Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att rektangelns area blir maximal.

d)   Beräkna rektangelns maximala area.

  Ovn 351.gif
Svar 1a
3.5 Svar 1a
Svar 1b
3.5 Svar 1b
Lösning 1b
3.5 Lösning 1b
Svar 1c
3.5 Svar 1c
Lösning 1c
3.5 Lösning 1c
Svar 1d
3.5 Svar 1d
Lösning 1d
3.5 Lösning 1d


Övning 2

En rektangel har omkretsen \( \, 12 \, {\rm cm} \, \). Maximera rektangelns area.

a)   Formulera problemets bivillkor.

b)   Ange problemets målfunktion.

c)   Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns area blir maximal.

d)   Vad blir rektangelns maximala area?

        Ovn 352.gif
Svar 2a
3.5 Svar 2a
Lösning 2a
3.5 Lösning 2a
Svar 2b
3.5 Svar 2b
Lösning 2b
3.5 Lösning 2b
Svar 2c
3.5 Svar 2c
Lösning 2c
3.5 Lösning 2c
Svar 2d
3.5 Svar 2d


Övning 3

En rektangels area är \( \, 25 \, {\rm cm}^2 \, \). Minimera rektangelns omkrets.

a)   Formulera problemets bivillkor.

b)   Ange problemets målfunktion.

c)   Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns omkrets blir minimal.

d)   Vad blir rektangelns minimala omkrets?

   Ovn 352.gif
Svar 3a
3.5 Svar 3a
Lösning 3a
3.5 Lösning 3a
Svar 3b
3.5 Svar 3b
Lösning 3b
3.5 Lösning 3b
Svar 3c
3.5 Svar 3c
Lösning 3c
3.5 Lösning 3c
Svar 3d
3.5 Svar 3d


Övning 4

En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:

Parabeln är definierad genom:

\[ y \, = \, 6 \, x \, - \, x^2 \qquad {\rm med} \qquad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 6 \]

Punkten \( \, P\,(x,\,y) \, \) rör sig på parabeln.

Vilken position av \( \, P \, \) ger triangeln största möjliga arean \( \, A \, \)?

a)   Ange problemets bivillkor.

b)   Ställ upp problemets målfunktion som en funktion \( \, A(x) \, \).

c)   Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att triangelns area blir maximal.

d)   Beräkna triangelns maximala area.

       Ovn 354.jpg
Svar 4a
3.5 Svar 4a
Svar 4b
3.5 Svar 4b
Lösning 4b
3.5 Lösning 4b
Svar 4c
3.5 Svar 4c
Lösning 4c
3.5 Lösning 4c
Svar 4d
3.5 Svar 4d
Lösning 4d
3.5 Lösning 4d

Övning 5

En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-

gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på \( \, 9 \; {\rm m} \, \) (rött)

och pinnar i marken enligt figuren.

Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för

sina får?

a)   Formulera problemets målfunktion \( \, A(x) \, \).

b)   Ange målfunktionens definitionsmängd.

c)   Bestäm \( \, x \, \) så att stängselns area blir maximal.

d)   Beräkna stängselns maximala area.

e)   Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det.

f)   Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som

skulle kunna maximera stängselns area bättre?
    Ovn 355 80.jpg
Svar 5a
3.5 Svar 5a
Lösning 5a
3.5 Lösning 5a
Svar 5b
3.5 Svar 5b
Svar 5c
3.5 Svar 5c
Lösning 5c
3.5 Lösning 5c
Svar 5d
3.5 Svar 5d
Lösning 5d
3.5 Lösning 5d
Svar 5e
3.5 Svar 5e
Lösning 5e
3.5 Lösning 5e
Svar 5f
3.5 Svar 5f



C-övningar: 6-7


Övning 6

Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på \( \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, \).

Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden \( \, x \, \) från karton-

gens fyra hörn enligt figuren.

Hur ska du välja \( \, x \, \) för att få den största möjliga volymen \( \, V \, \) för din

öppna låda?

a)   Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e).

b)   Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(x) \, \).

c)   Ange målfunktionens definitionsmängd.

d)   Bestäm \( \, x \, \) så att lådans volym \( \, V(x) \, \) blir maximal.

e)   Beräkna lådans maximala volym.

f)   Vilka mått har lådan med maximal volym?

Ange dina svar med två decimaler.

       Ovn 356 Oppen lada 1 80.jpg

       Ovn 356 Oppen lada 2 80.jpg

Svar 6a
3.5 Svar 6a
Lösning 6a
3.5 Lösning 6a
Svar 6b
3.5 Svar 6b
Lösning 6b
3.5 Lösning 6b
Svar 6c
3.5 Svar 6c
Lösning 6c
3.5 Lösning 6c
Svar 6d
3.5 Svar 6d
Lösning 6d
3.5 Lösning 6d
Svar 6e
3.5 Svar 6e
Lösning 6e
3.5 Lösning 6e
Svar 6f
3.5 Svar 6f
Lösning 6f
3.5 Lösning 6f


Övning 7

SJ har \( \, 20\,000 \, \) passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på \( \, 200 \, \) kr.

En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med \( \, 1 \, \) kr skulle medföra en förlust av \( \, 80 \, \) passagerare per månad.

Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?

a)   Ange problemets bivillkor om:

\[ x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} \]
\[ y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} \]

b)   Ställ upp problemets målfunktionen \( \, I(x) \, \) för SJ:s intäkt per månad.

c)   Bestäm \( \, x \, \) så att intäkten \( \, I(x) \, \) blir så stor som möjligt.

d)   Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på \( \, x \, \) kr.

e)   För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?

Svar 7a
3.5 Svar 7a
Lösning 7a
3.5 Lösning 7a
Svar 7b
3.5 Svar 7b
Lösning 7b
3.5 Lösning 7b
Svar 7c
3.5 Svar 7c
Lösning 7c
3.5 Lösning 7c
Svar 7d
3.5 Svar 7d
Lösning 7d
3.5 Lösning 7d
Svar 7e
3.5 Svar 7e
Lösning 7e
3.5 Lösning 7e



A-övningar: 8-9


Övning 8

En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:
\[ R \, = \, {\rm Radien\;till\;kons\;bascirkel\;} \, = \, 15 \; {\rm cm} \]
\[ H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm} \]

Vilka mått på cylindern maximerar dess volym \( \, V \, \)?

a)   Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren.

b)   Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(r) \, \) där \( r = \) cylinderns radie.

c)   Bestäm cylinderns radie \( \, r \, \) och höjd \( \, h \, \) så att volymen blir maximal.

d)   Beräkna cylinderns maximala volym.

e)   Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)

när volymen maximeras?
        Ovn 358 140.jpg
Svar 8a
3.5 Svar 8a
Lösning 8a
3.5 Lösning 8a
Svar 8b
3.5 Svar 8b
Lösning 8b
3.5 Lösning 8b
Svar 8c
3.5 Svar 8c
Lösning 8c
3.5 Lösning 8c
Svar 8d
3.5 Svar 8d
Lösning 8d
3.5 Lösning 8d
Svar 8e
3.5 Svar 8e
Lösning 8e
3.5 Lösning 8e


Övning 9

För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd \( \, A \, \)

plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, \).

I teoridelen, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift med \(A=500\).

Här ska den lösas generellt för en given konstant \( \, A \, \).

Vilka mått på konserven maximerar volymen?

a)   Formulera problemets bivillkor.

b)   Ställ upp problemets målfunktion.

c)   Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal.

d)   Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:

För en cylinder med maximal volym gäller för radien \( \, r \, \) och höjden \( \, h \, \):
     Konservburk 40a.jpg


\[ 2 \; r \; = \; h \]
Svar 9a
3.5 Svar 9a
Lösning 9a
3.5 Lösning 9a
Svar 9b
3.5 Svar 9b
Lösning 9b
3.5 Lösning 9b
Svar 9c
3.5 Svar 9c
Lösning 9c
3.5 Lösning 9c
Svar 9d
3.5 Svar 9d
Lösning 9d
3.5 Lösning 9d





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem&oldid=24917"