Skillnad mellan versioner av "Teoretisk förklaring"

Från mattekollen
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '== Varför är division med 0 inte definierad? == Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> 0\, </math> eftersom division med <math> 0\, </...')
 
m
 
(31 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
== Varför är division med 0 inte definierad? ==
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Not selected tab|[[Huvudsida|<-- Tillbaka till demosidan]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Varför får man inte dividera med 0 ?|Problemet]]}}
 +
{{Selected tab|[[Teoretisk förklaring|Teoretisk förklaring]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Praktisk förklaring|Praktisk förklaring]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?|Vad händer om ... ?]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
  
−
Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> 0\, </math> eftersom division med <math> 0\, </math> inte är definierad.
 
  
−
<strong><span style="color:red">Division med 0</span></strong> är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken. Men vad beror det på att det är "förbjudet"? När vi besvarar denna fråga kommer vi också att inse att det snarare är en omöjlighet än ett förbud.
+
<big>
 +
Vad betyder <math> 12 / 4  </math> ?
  
 +
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
  
−
=== Praktisk förklaring ===
+
Uppenbarligen är detta tal <math> {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } </math> därför att <math> {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
  
−
Ta fram din miniräknare och mata in:
 
  
−
:::::<math> 1 \over 0 </math>
+
Vad betyder <math> 12 / 0 </math> ?
  
−
Du kommer att få <strong><span style="color:red">ERROR</span></strong>. Räknaren kan inte genomföra denna operation. Varför?
+
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>
  
−
Fortsätt dina experiment med räknaren genom att dela <math> 1\, </math> inte direkt med <math> 0\, </math> utan med små tal. Och låt dessa små tal bli mindre och mindre:
+
Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 </math>.
  
−
::::::::{| class="wikitable"
 
−
|-
 
−
! <math> x\, </math> || <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,1\, </math> ||align=left| <math> 10\, </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,01\, </math> ||align=left| <math> 100\, </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,001\, </math> ||align=left| <math> 1000\, </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000 </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000 </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,000\,001 </math> ||align=left| <math> 1\,000\,000 </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000\,000 </math>
 
−
|-
 
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000\,000 </math>
 
−
|-
 
−
| align=center| <math> \cdots </math> ||align=center| <math> \cdots </math>
 
−
|-
 
−
| align=center| <math> \rightarrow 0 </math> ||align=center| <math> \rightarrow \infty </math>
 
−
|}
 
  
−
Experimentet visar: Ju mindre <math> x\, </math> blir desto större blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>. I gränsfallet <math> x = 0\, </math> blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> oändligt stort.
+
Ett annat sätt att förklara förbudet mot division med <math> \, 0  \, </math> är att uppfatta <strong><span style="color:red">divisionen</span></strong> som en <strong><span style="color:red">upprepad subtraktion</span></strong>. Se även [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">Varför går multiplikation före addition?</span></strong>]]
  
−
<math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Men det är <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att skriva:
+
När vi delar <math> \, 12 \, </math> med <math> \, 4 \, </math> innebär det:
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
+
::<math> 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; {\color{Red} 3}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
  
−
Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
+
Används denna tolkning av divisionen på <math> \, 12 / 0  \, </math> får man:
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad\, {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
+
::<math> 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 </math>
  
−
Och läses så här <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot <math> \infty </math> när <math> x\, </math> går mot <math> 0\, </math>.
+
Dvs man kan dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre, vilket är ju meningen med division. Med andra ord, en oändlig process ger inget resultat.
  
−
<b>Slutsats:</b> <big><big><math> {\color{White} x} {1 \over 0} </math></big></big> är inget tal och därför inte definierat.
 
  
 +
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Operationen <math> 12 / 0 \,</math> och därmed division med <math> 0 \,</math> är omöjligt att genomföra.
 +
</big>
  
−
=== Teoretisk förklaring ===
 
  
−
Vad betyder <math> 12 / 4  </math> ?
 
  
−
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
 
  
−
Uppenbarligen är detta tal <math> {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } </math> därför att <math> {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
 
  
  
−
Vad betyder <math> 12 / 0  </math> ?
 
  
−
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>
 
  
−
Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 </math>.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
−
 
+
−
 
+
−
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Operationen <math> 12 / 0 \,</math> och därmed division med <math> 0 \,</math> är omöjligt att genomföra.
+

Nuvarande version från 27 maj 2015 kl. 11.46

       <-- Tillbaka till demosidan          Problemet          Teoretisk förklaring          Praktisk förklaring          Vad händer om ... ?      


Vad betyder \( 12 / 4 \) ?

\[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]

Uppenbarligen är detta tal \( {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } \) därför att \( {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).


Vad betyder \( 12 / 0 \) ?

\[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \]

Men det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 \).


Ett annat sätt att förklara förbudet mot division med \( \, 0 \, \) är att uppfatta divisionen som en upprepad subtraktion. Se även Varför går multiplikation före addition?

När vi delar \( \, 12 \, \) med \( \, 4 \, \) innebär det:

\[ 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm dvs} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; {\color{Red} 3}\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]

Används denna tolkning av divisionen på \( \, 12 / 0 \, \) får man:

\[ 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 \]

Dvs man kan dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre, vilket är ju meningen med division. Med andra ord, en oändlig process ger inget resultat.


Slutsats:     Operationen \( 12 / 0 \,\) och därmed division med \( 0 \,\) är omöjligt att genomföra.





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=Teoretisk_förklaring&oldid=25392"