Skillnad mellan versioner av "Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata"

Från mattekollen
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(31 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 4: Rad 4:
 
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling NP Matte 3]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling NP Matte 3]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: Formelblad Ma3 kap 2 Derivata.pdf|Formelblad Deriveringsregler]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: Formelblad Ma3 kap 2 Derivata.pdf|Formelblad Deriveringsregler]]}}
−
{{Selected tab|[[Media: Diagnosprov Matte 3 kap 2b.pdf|Diagnosprov kap 2 som PDF]]}}
+
{{Selected tab|[[Media: Diagnosprov Matte 3 kap 2c.pdf|Diagnosprov kap 2 som PDF]]}}
 
{{Not selected tab|[[Matte 3 Kapitel 2 Derivata|Innehållsförteckning kap 2]]}}
 
{{Not selected tab|[[Matte 3 Kapitel 2 Derivata|Innehållsförteckning kap 2]]}}
 
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
Rad 47: Rad 47:
 
== Uppgift 7 ==
 
== Uppgift 7 ==
 
<br>
 
<br>
−
Ställ upp derivatan av följande funktion<span style="color:black">:</span> <math> \qquad y\;\; = \;\;\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{  - x}}}}{2} </math>
+
Ställ upp derivatan av följande funktion<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{  - x}}}}{2} } </math>
  
  
 
== Uppgift 8 ==
 
== Uppgift 8 ==
−
Följande funktion är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \displaystyle f(x) \, = \, {x^2 - 3x - 4 \over x - 3} \, </math>
+
<br>
 +
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
  
−
a) &nbsp; Rita grafen till <math> \, f(x) </math>.
+
::::<math> y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 </math>
  
−
b) &nbsp; För vilka <math> \, x \, </math> är <math> \, f(x) \, </math> kontinuerlig och för vilka är den inte kontinuerlig?
+
i punkten <math> \, - 1 \, </math>.
−
 
+
−
c) &nbsp; Ange de förekommande diskontinuiteternas typ. Motivera dina svar.
+
  
  
 
== Uppgift 9 ==
 
== Uppgift 9 ==
−
Lös ekvationen algebraiskt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \left| {x + 1} \right|\;\, + \;\,2\,x\;\, = \,\;3 </math>
+
<br>
 +
Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen
 +
 
 +
::::<math> T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 </math>
 +
 
 +
där <math> \, t \, </math> är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.
 +
 
 +
Hur stor är avkylningshastigheten efter <math> \, 10 \, </math> minuter?
 +
 
 +
Ange svaret med två decimalers noggrannhet.
  
  
 
== Uppgift 10 ==
 
== Uppgift 10 ==
−
Lös följande ekvation exakt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \ln x = 1 + \ln \,(x - 1) </math>
+
<br>
 +
Vad blir <math> \, f\,'(4) \, </math> om <math> \qquad\qquad\quad  f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}</math>
 +
 
 +
Ange resultatet med tre decimaler.
  
  
 
== Uppgift 11 ==
 
== Uppgift 11 ==
−
Förenkla så långt som möjligt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \displaystyle {x \, - \, 1 \over 1\, - \,x} \; + \; {1\, + \,y \over y\, + \, 1} </math>
+
<br>
 +
Befolkningen i en småstad utvecklas under åren <math> \, 2\,000</math>-<math>2\,010 \, </math>enligt modellen
 +
 
 +
:::::::<math> N \, = \, 25\,000 \cdot  0,98\,^t </math>
 +
 
 +
där <math> \, N \, </math> är antal personer och <math> \, t \, </math> är tiden i år räknad från <math> \, 2\,000 \, </math>.
 +
 
 +
Ökar eller minskar befolkningen år <math> \, 2\,005 \, </math> och i så fall hur mycket per år?
  
  
 
== Uppgift 12 ==
 
== Uppgift 12 ==
−
Förenkla det rationella uttrycket<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \displaystyle {{p\,z \, + \, 1} \over {p\,z \, + \, (p\,z)\,^2}} </math>
+
<br>
 +
Värdet av en produkt minskar enligt
 +
 
 +
:::::::<math> y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} </math>
 +
 
 +
där <math> \, y \, </math> är värdet i kr, <math> \, x \, </math> produktens ålder i år och <math> \, k \, </math> en konstant.
 +
 
 +
Bestäm k så att värdet är <math> \, 100\,000 \, </math> kr efter <math> \, 5 \, </math> år.
 +
 
 +
Med hur många kr minskar värdet per år då <math> \, x = 5 \, </math>?
  
  
 
== Uppgift 13==
 
== Uppgift 13==
−
Lös ut <math> \, x \, </math> från<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{a}{x + 1} - 1 = 5 + \frac{1}{3} - \frac{b}{x + 1}} </math>
+
<br>
 +
Antalet bakterier <math> \, N \, </math> i en bakteriekultur följer funktionen
  
 +
:::::<math> N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} </math>
  
−
== Uppgift 14 ==
+
där <math> \, t \, </math> är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter <math> \, 7 \, </math> minuter.
−
På ett bankkonto har ett kapital på <math> \, 100\,000 \, </math> kr under <math> \, 5 \, </math> år vuxit till <math> \, 190\,000\, </math> kr.  
+
  
−
a) &nbsp; Vilken räntesats per år hade kontot? Ange svaret med en decimal.  
+
Fundera först om funktionen <math> \, N(t) \, </math> kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills.
  
−
b) &nbsp; Vilken typ av ekvation blir det i a) och vilken operation löser ekvationen?
 
  
−
c) &nbsp; Använd räntesatsen från a) för att besvara frågan:
+
== Uppgift 14 ==
 +
<br>
 +
Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen:
  
−
:Hur länge tar det tills startkapitalet tredubblats?
+
:::::<math> y \, = \, 10 \cdot 2\,^x </math>
 +
               
 +
där <math> \, y \, </math> är antal bakterier och <math> \, x \, </math> är tiden i timmar.
  
−
:Avrunda svaret till hela år och månader.
+
Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått <math> \, 1\,000 \, </math> bakterier/timme?
  
−
d) &nbsp; Vilken typ av ekvation blir det i c) och vilken operation löser ekvationen?
+
Avrunda svaret till en decimal.
  
  
 
== Uppgift 15 ==
 
== Uppgift 15 ==
−
Bakterier i mjölk anses växa enligt modellen:
+
<br>
 +
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan
  
−
:::::<math> \, y = 10 \cdot  e{\,^{0,5\,x}} </math>
+
::::<math> y \, = \, 2\,x^2 - \,3\,x\, - \,4 </math>
−
               
+
−
där <math> \, y \, </math> är antalet bakterier och <math> \, x \, </math> tiden i timmar.
+
  
−
a) &nbsp; Hur många bakterier finns det i mjölken i början?
+
som är parallell till linjen 
  
−
b) &nbsp; Hur många bakterier kommer det att finnas i mjölken efter <math> \, 8 \, </math> timmar?
+
::::::<math> \!\! y \, = \, x \, - \, 4 </math>
  
−
c) &nbsp; Efter hur många timmar och minuter blir mjölken sur?
+
I vilken punkt tangerar (berör) tangenten kurvan?
  
−
:Mjölken anses vara sur när antalet bakterier har uppnått <math> \, 1\,250 </math>.
+
Ange denna punkts koordinater.
  
  
 
<!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_1_40a.jpg]] -->
 
<!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_1_40a.jpg]] -->
−
[[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_2_40.jpg]]
+
<!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_2_40.jpg]] -->
−
[[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_3_40.jpg]]
+
<!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_3_40.jpg]] -->
−
[[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_4_40.jpg]]
+
<!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_4_40.jpg]] -->
  
  
Rad 124: Rad 154:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 30 april 2015 kl. 13.20

       Formelsamling NP Matte 3          Formelblad Deriveringsregler          Diagnosprov kap 2 som PDF          Innehållsförteckning kap 2          Lösningar till diagnosprov kap 2      


Uppgift 1


Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 9\,x \, + \, 8 \)


Uppgift 2


Vad blir \( \; f\,'(-3) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} \)


Uppgift 3


Ställ upp derivatan \( \; f\,'(x) \; \) om \( \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} \)


Uppgift 4


Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} \)


Uppgift 5


Vad blir \( \; f\,'(1) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} \)


Uppgift 6


För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet \( \, 17 \, \)?

\[ y\; = \; 6\,^x \]

Ange svaret avrundat till tre decimaler.


Uppgift 7


Ställ upp derivatan av följande funktion: \( \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } \)


Uppgift 8


Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 \]

i punkten \( \, - 1 \, \).


Uppgift 9


Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen

\[ T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.

Hur stor är avkylningshastigheten efter \( \, 10 \, \) minuter?

Ange svaret med två decimalers noggrannhet.


Uppgift 10


Vad blir \( \, f\,'(4) \, \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}\)

Ange resultatet med tre decimaler.


Uppgift 11


Befolkningen i en småstad utvecklas under åren \( \, 2\,000\)-\(2\,010 \, \)enligt modellen

\[ N \, = \, 25\,000 \cdot 0,98\,^t \]

där \( \, N \, \) är antal personer och \( \, t \, \) är tiden i år räknad från \( \, 2\,000 \, \).

Ökar eller minskar befolkningen år \( \, 2\,005 \, \) och i så fall hur mycket per år?


Uppgift 12


Värdet av en produkt minskar enligt

\[ y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} \]

där \( \, y \, \) är värdet i kr, \( \, x \, \) produktens ålder i år och \( \, k \, \) en konstant.

Bestäm k så att värdet är \( \, 100\,000 \, \) kr efter \( \, 5 \, \) år.

Med hur många kr minskar värdet per år då \( \, x = 5 \, \)?


Uppgift 13


Antalet bakterier \( \, N \, \) i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} \]

där \( \, t \, \) är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.

Fundera först om funktionen \( \, N(t) \, \) kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills.


Uppgift 14


Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen:

\[ y \, = \, 10 \cdot 2\,^x \]

där \( \, y \, \) är antal bakterier och \( \, x \, \) är tiden i timmar.

Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått \( \, 1\,000 \, \) bakterier/timme?

Avrunda svaret till en decimal.


Uppgift 15


Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y \, = \, 2\,x^2 - \,3\,x\, - \,4 \]

som är parallell till linjen

\[ \!\! y \, = \, x \, - \, 4 \]

I vilken punkt tangerar (berör) tangenten kurvan?

Ange denna punkts koordinater.






Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=Diagnosprov_i_Matte_3_kap_2_Derivata&oldid=23573"