Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (16 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 99: | Rad 99: | ||
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | <b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b> | ||
| − | :::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math> | + | :::::Om <math> \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math> |
| − | :::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math> | + | :::::då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| Rad 109: | Rad 109: | ||
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. | <strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. | ||
| − | Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte | + | Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte är en additiv term här utan bunden till produkten <math> a \cdot x\,^n </math> som en <strong><span style="color:red">faktor</span></strong> framför potensen, se regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]]. |
</div> <!-- tolv2 --> | </div> <!-- tolv2 --> | ||
| Rad 122: | Rad 122: | ||
| − | ''' | + | '''Viktigt specialfall:''' <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> |
| − | + | <div class="border-divblue"><big> | |
| − | <div class="border- | + | |
<b>Derivatan av en potens:</b> | <b>Derivatan av en potens:</b> | ||
| − | Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> | + | Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math> | + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | |||
<div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | <div class="tolv"> <!-- tolv3 --> | ||
| − | Denna regel gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten. | + | Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel. |
| + | |||
| + | Dessutom gäller regeln för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten. | ||
</div> <!-- tolv3 --> | </div> <!-- tolv3 --> | ||
| − | + | <div class="exempel"> <!-- exempel5 --> | |
| + | '''Exempel 1''' <math> n \,=\, </math> positivt heltal: | ||
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan: | :För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan: | ||
| Rad 145: | Rad 148: | ||
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math> | ::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math> | ||
| − | + | '''Exempel 2''' <math> n \,=\, </math> negativt heltal: | |
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | :Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | ||
| Rad 157: | Rad 160: | ||
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math> | :::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| − | + | '''Exempel 3''' <math> n \,=\, </math> bråktal: | |
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | :Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens. | ||
| Rad 168: | Rad 171: | ||
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | :::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel5 --> | ||
| − | |||
| − | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en summa av funktioner</span></b> == | |
| − | == Derivatan av en summa av funktioner == | + | |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 178: | Rad 180: | ||
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b> | <b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b> | ||
| − | :::Om <math> y = f(x) + g(x)\, </math> | + | :::Om <math> \;\; y = f(x) + g(x)\, </math> |
| − | :::då <math> y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) </math> | + | :::då <math> \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) </math> |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel6 --> | ||
'''Exempel 1''': | '''Exempel 1''': | ||
| Rad 206: | Rad 209: | ||
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]]. | Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]]. | ||
| + | </div> <!-- exempel6 --> | ||
| − | == Derivatan av en funktion med en konstant faktor == | + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></b> == |
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 221: | Rad 225: | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel7 --> | ||
'''Exempel''': | '''Exempel''': | ||
| Rad 230: | Rad 235: | ||
::Derivatan av <math> f(x) = \sqrt{x} </math> är <math> f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>. | ::Derivatan av <math> f(x) = \sqrt{x} </math> är <math> f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>. | ||
| + | </div> <!-- exempel7 --> | ||
| − | == | + | == <b><span style="color:#931136">Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?</span></b> == |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | |
I funktionen <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> är <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket. | I funktionen <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> är <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket. | ||
| Rad 245: | Rad 251: | ||
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras: | Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras: | ||
| + | </div> <!-- tolv5 --> | ||
| + | |||
'''Regel:''' | '''Regel:''' | ||
| Rad 250: | Rad 258: | ||
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b> | <b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b> | ||
| − | Om <math> | + | Om <math> \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math> |
| − | då <math> | + | då <math> \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>. |
</big></div> | </big></div> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel8 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| − | För funktionen <math> | + | För funktionen <math> \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan: |
| − | :::::<math> | + | :::::<math> \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math> |
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen: | Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen: | ||
:::Derivatan av <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> är <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | :::Derivatan av <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> är <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel8 --> | ||
| − | == Produkt och kvot av funktioner == | + | == <b><span style="color:#931136">Produkt och kvot av funktioner</span></b> == |
| − | + | <div class="tolv"> <!-- tolv7 --> | |
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis. | Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis. | ||
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner: | Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner: | ||
| − | |||
| − | |||
| + | |||
| + | '''1)''' En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis. | ||
| + | </div> <!-- tolv7 --> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel9 --> | ||
:'''Exempel:''' | :'''Exempel:''' | ||
| Rad 286: | Rad 298: | ||
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math> | :::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel9 --> | ||
| − | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv8 --> | ||
| + | '''2)''' Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig. | ||
| + | </div> <!-- tolv8 --> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel10 --> | ||
:'''Exempel:''' | :'''Exempel:''' | ||
| Rad 298: | Rad 314: | ||
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | :::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel10 --> | ||
| + | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | ||
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan. | Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan. | ||
| + | </div> <!-- tolv6 --> | ||
| − | == Tabell över deriveringsregler == | + | == <b><span style="color:#931136">Tabell över deriveringsregler</span></b> == |
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv7 --> | ||
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler: | Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler: | ||
| Rad 338: | Rad 359: | ||
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]. | Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]. | ||
| − | + | </div> <!-- tolv7 --> | |
| − | + | ||
Nuvarande version från 27 maj 2015 kl. 13.35
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 2 --> |
Lektion 19 Deriveringsregler I
Lektion 20 Deriveringsregler II
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.
Derivatan av en konstant
Regel:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( \;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \: 0 \).
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \: -5 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \: 0 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en linjär funktion
Regel:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( \;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; k \)
Exempel:
För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \; \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; -8 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en kvadratisk funktion
Regel:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Exempel 1:
- För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
- \[ \;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3 \]
Exempel 2:
- För funktionen \( f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16 \]
Bevis: Se Fördjupning.
Derivatan av en potensfunktion
Regel:
Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.
- Om \( \;\; f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
- då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan.
Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte är en additiv term här utan bunden till produkten \( a \cdot x\,^n \) som en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.
Exempel:
För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]
Viktigt specialfall: \( a \,=\, \)\( 1\, \)
Derivatan av en potens:
Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Denna regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.
Dessutom gäller regeln för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
Exempel 1 \( n \,=\, \) positivt heltal:
- För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
Exempel 2 \( n \,=\, \) negativt heltal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
- \[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
- Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
Exempel 3 \( n \,=\, \) bråktal:
- Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
- Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
- \[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
- Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
- \[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Derivatan av en summa av funktioner
Regel:
En summa av funktioner kan deriveras termvis:
- Om \( \;\; y = f(x) + g(x)\, \)
- då \( \;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)
Exempel 1:
För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
- Derivatan av \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \) och
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
Exempel 2:
För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]
Se även Derivatan av ett polynom.
Derivatan av en funktion med en konstant faktor
Regel:
En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:
- Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
- då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)
Exempel:
För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:
- \[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]
Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:
- Derivatan av \( f(x) = \sqrt{x} \) är \( f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).
Vad är en konstant faktor och vad är en additiv konstant och hur deriveras de?
I funktionen \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en konstant faktor i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.
I funktionen \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \) är \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.
Derivatan blir \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \) enligt regeln om derivatan av en konstant.
Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av \( a\cdot f(x) \) blir \( 0\cdot f\,'(x) \) och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
Regel:
Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).
Om \( \; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( \; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).
Exempel:
För funktionen \( \; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:
- \[ \; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]
Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:
- Derivatan av \( y = \displaystyle {1 \over x} \) är \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)
Produkt och kvot av funktioner
Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
1) En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.
- Exempel:
- \[ y = x \cdot \sqrt x \]
- \[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
- Rätt:
- \[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
- \[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]
2) Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
- Exempel:
- \[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
- \[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
- Rätt:
- \[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
Tabell över deriveringsregler
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
https://www.youtube.com/watch?v=ekESj2A5IiY
https://www.youtube.com/watch?v=hZXusMjayZk
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
