Skillnad mellan versioner av "2.5 Fördjupning till Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (15 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. | Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. | ||
| − | Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik | + | Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i [[Media: Centralt_innehall_Ma3c.pdf|<strong><span style="color:blue">Skolverkets kursplan för Matematik 3c</span></strong>]] och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver derivatans definition och gränsövergången med Limes. |
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt: | Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt: | ||
| Rad 59: | Rad 59: | ||
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man tolkar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> så att den gäller <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>, även om <math> x\, </math> inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man tolkar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> så att den gäller <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>, även om <math> x\, </math> inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>. | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| Rad 66: | Rad 67: | ||
Att <math> f(x+h) = -5 </math> beror på att funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde alltid är <math> \,-5 </math> oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>, även om det är <math> x+h\, </math> som man sätter in. | Att <math> f(x+h) = -5 </math> beror på att funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde alltid är <math> \,-5 </math> oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>, även om det är <math> x+h\, </math> som man sätter in. | ||
| + | </div> <!-- exempel1 --> | ||
| Rad 87: | Rad 89: | ||
Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel2 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| Rad 94: | Rad 97: | ||
Att <math> f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= -8\,x + 9 </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | Att <math> f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= -8\,x + 9 </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>. | ||
| + | </div> <!-- exempel2 --> | ||
| Rad 134: | Rad 138: | ||
:<math> f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b </math> | :<math> f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b </math> | ||
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel3 --> | ||
'''Exempel:''' | '''Exempel:''' | ||
| Rad 156: | Rad 161: | ||
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 </math> | :<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel3 --> | ||
| Rad 209: | Rad 215: | ||
'''Bevis:''' | '''Bevis:''' | ||
| − | Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först | + | Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först bevisa regeln för derivatan av en potens (se nedan) och sedan kombinera den med regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]] samt regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]]. |
| + | <div class="exempel"> <!-- exempel4 --> | ||
'''Exempel''': | '''Exempel''': | ||
| Rad 216: | Rad 223: | ||
:::::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 </math> | :::::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 </math> | ||
| + | </div> <!-- exempel4 --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b><span style="color:#931136">Derivatan av en potens</span></b> == | ||
| + | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv4 --> | ||
| + | Följande deriveringsregel ställde vi upp i genomgången som ett specialfall av [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">derivatan av en potensfunktion</span></strong>]]: | ||
| + | </div> <!-- tolv4 --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"><big> | ||
| + | <b>Derivatan av en potens:</b> | ||
| + | |||
| + | Om <math> \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math> | ||
| + | |||
| + | då <math> \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math> | ||
| + | |||
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="tolv"> <!-- tolv5 --> | ||
| + | Beviset av denna regel genomfördes ovan för heltalen <math> \, n = 0, \, 1, \, 2 \, </math>: För <math> \, n = 0 \, </math> blir potensen <math> \, 1 \, </math> och därmed konstant. För <math> \, n = 1 \, </math> blir potensen <math> \, x \, </math> och därmed linjär. Och för <math> \, n = 2 \, </math> blir potensen <math> \, x^2 \, </math> och därmed kvadratisk. | ||
| + | |||
| + | För ett generellt bevis för inte bara alla hela utan även alla rationella tal <math> \, n \, </math> måste man utveckla uttrycket <math> \, (x\,+\,h)\,^n \, </math> och genomföra gränsövergången med Limes, vilket kräver matematiska kunskaper som ligger på högskolenivå. | ||
| + | </div> <!-- tolv5 --> | ||
Nuvarande version från 27 maj 2015 kl. 13.37
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 2 --> |
Lektion 19 Deriveringsregler I
Lektion 20 Deriveringsregler II
Bevis av deriveringsreglerna
Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.
Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt.
Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik 3c och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver derivatans definition och gränsövergången med Limes.
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:
Derivatans definition:
Om \( \;\; y \,=\, f(x) \)
då \( \;\; y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)
Derivatan av en konstant
Påstående:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]
Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man tolkar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) så att den gäller för alla \( {\color{Red} x} \), även om \( x\, \) inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]
Att \( f(x+h) = -5 \) beror på att funktionen \( \,f(x)\):s värde alltid är \( \,-5 \) oavsett vad man sätter in för \( x\, \), även om det är \( x+h\, \) som man sätter in.
Derivatan av en linjär funktion
Påstående:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; k \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]
Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]
Att \( f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 \) inser man när man i funktionen \( f(x)= -8\,x + 9 \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Derivatan av en kvadratisk funktion
Påstående:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Bevis:
Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.
För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]
Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:
\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]
Exempel:
För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]
Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)
Påstående:
Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)
då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)
Bevis (med derivatans definition):
\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]
Alternativt (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 2.
Derivatan av \( \sqrt{x} \)
Påstående:
Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)
då \( f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
Bevis (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 3
Derivatan av ett polynom
Påstående:
En polynomfunktion deriveras termvis:
Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)
då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)
Bevis:
Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först bevisa regeln för derivatan av en potens (se nedan) och sedan kombinera den med regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor samt regeln för derivatan av en summa av funktioner.
Exempel:
För polynomfunktionen \( f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:
- \[ {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 \]
Derivatan av en potens
Följande deriveringsregel ställde vi upp i genomgången som ett specialfall av derivatan av en potensfunktion:
Derivatan av en potens:
Om \( \;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)
då \( \;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Beviset av denna regel genomfördes ovan för heltalen \( \, n = 0, \, 1, \, 2 \, \): För \( \, n = 0 \, \) blir potensen \( \, 1 \, \) och därmed konstant. För \( \, n = 1 \, \) blir potensen \( \, x \, \) och därmed linjär. Och för \( \, n = 2 \, \) blir potensen \( \, x^2 \, \) och därmed kvadratisk.
För ett generellt bevis för inte bara alla hela utan även alla rationella tal \( \, n \, \) måste man utveckla uttrycket \( \, (x\,+\,h)\,^n \, \) och genomföra gränsövergången med Limes, vilket kräver matematiska kunskaper som ligger på högskolenivå.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
