Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från mattekollen
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Begreppet)
m
 
(348 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|<-- Förra avsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa demoavsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<!-- [[Media: Lektion 21 Rotekvationer.pdf|Lektion 1 Rotekvationer]] -->
 
  
−
== Begreppet ==
+
[[Media: Lektion_16_Genomsnittlig_forandringshastig.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 16: Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>]]
 +
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ==
 +
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
  
 +
I [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (sida 2, kolumn 2) hittar vi <math> \, 5\;302 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;681 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
 +
 +
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för ''marginalskatt''.
 +
 +
'''Lösning:'''
 +
 +
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
 +
 +
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
 +
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
 +
 +
Då blir <math> y\, </math> är en funktion av <math> x\, </math> som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:
 +
::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math>
 +
|}
 +
 +
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
 +
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,681 - 5\,302 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316  \; = \; 31,6 \, \%</math>
 +
 +
Marginalskatten är därmed <math>31,6 \, \% </math>, vilket i praktiken innebär att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
 +
 +
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen <math>\,y</math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math>\,x</math>-intervallet.
 +
</div> <!-- exempel1 -->
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Oljetank</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
 +
 +
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
 +
 +
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 +
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 +
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
 +
 +
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
 +
 +
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet
 +
 +
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;från början tills tanken är tom.
 +
 +
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
 +
 +
'''d)''' &nbsp;&nbsp; När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
</div> <!-- exempel2 -->
 +
 +
 +
'''Lösning:'''
 +
 +
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Se grafen ovan.
 +
 +
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:
 +
 +
:::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
 +
 +
[[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Räknarens ekvationslösare</span></strong>]] visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
 +
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
 +
 +
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med 200 liter per minut.
 +
 +
 +
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>:
 +
 +
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
 +
 +
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
 +
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
 +
 +
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med 180 liter per minut.
 +
 +
 +
'''d)''' &nbsp;&nbsp; Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <strong><span style="color:red">momentan</span></strong>.
 +
 +
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.
 +
 +
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
 +
 +
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
 +
 +
:::<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
 +
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
 +
 +
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
 +
 +
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I avsnittet [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">2.4 Derivatans definition</span></strong>]] kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Kvadratisk funktion</span></b> ==
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>'''Givet''':
 +
:::<big> Funktionen <math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math> </big>
 +
 +
:::<big> Intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math> </big>
 +
 +
'''Sökt''':
 +
::<big> Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i <math> \, x</math>-intervallet. </big>
 +
 +
'''Lösning''':
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} </math>
 +
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<big>
 +
I <math> \, x</math>-intervallet ersätts kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> av en <strong><span style="color:red">rät linje</span></strong> vars <strong><span style="color:red">lutning</span></strong> är kurvans <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math>:
 +
 +
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> 2 \; y </math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet, vilket innebär att lutningen och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet där är <math> \ {\color{Red} 2} </math>.
 +
</big>
 +
</div> <!-- exempel3 -->
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
'''Givet''':
 
'''Givet''':
−
::::<big> Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf. </big>
 
  
−
::::<big> Något intervall på <math> x\, </math>-axeln: <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> </big> dvs ett intervall med givna gränser <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>.
+
:::Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
 +
 
 +
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
 
'''Sökt''':
 
'''Sökt''':
  
−
::::<big> Funktionens <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i detta intervall dvs: </big>
+
:::Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.
 +
 
 +
 
 +
'''Lösning''':
 +
 
 +
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> kan vi enligt exemplen 1-3 börja att skriva så här:
 +
 
 +
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math>
 +
 
 +
En enklare form på uttrycket ovan får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
 +
 
 +
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 +
                  x_1 + h & = x_2                                \\
 +
          \end{align}</math>
 +
 
 +
I formeln ovan ersätter vi <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>.
 +
 
 +
 
 +
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i ett intervall kan då definieras som:
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-div2">
 +
<math> \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
'''Beteckningar:'''
  
−
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math>
+
Kärt barn har många namn: &nbsp; Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
  
−
----
+
::::::::Genomsnittlig förändringshastighet
  
−
Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter:  
+
::::::::Förändringskvot
−
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
+
−
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
+
  
−
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
+
::::::::Ändringskvot
  
−
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
+
::::::::Differenskvot
 +
</div>
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
 
  
−
----
+
== Internetlänkar ==
 +
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
  
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
+
http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
+
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
 
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
 
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
 
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
 
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
 
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
 
  
−
== Potenslagarna ==
 
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 17 maj 2015 kl. 20.07

       <-- Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa demoavsnitt -->      


Lektion 16: Genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2014 (sida 2, kolumn 2) hittar vi \( \, 5\;302 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;681 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för marginalskatt.

Lösning:

Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:

\[ x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \]
\[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]

Då blir \( y\, \) är en funktion av \( x\, \) som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,302 \)
\( 24\,200 \) \( 5\,681 \)

Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,681 - 5\,302 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316 \; = \; 31,6 \, \%\]

Marginalskatten är därmed \(31,6 \, \% \), vilket i praktiken innebär att Martin måste betala \(31,6\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.

Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen \(\,y\):s genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade \(\,x\)-intervallet.


Exempel 2 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet

       från början tills tanken är tom.

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \).

d)    När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.

        Ex2a.jpg


Lösning:

a)    Se grafen ovan.

b)    Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med 200 liter per minut.


c)    Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med 180 liter per minut.


d)    Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.


Exempel 3 Kvadratisk funktion

Givet:
Funktionen \( y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i \( \, x\)-intervallet.

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} \]
        Ex1a.jpg

I \( \, x\)-intervallet ersätts kurvan \( \, y = x^2 \, \) av en rät linje vars lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \):

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( 2 \; y \)-enheter per \( \, x\)-enhet, vilket innebär att lutningen och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet där är \( \ {\color{Red} 2} \).


Allmän definition

Givet:

Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.


Lösning:

Funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) kan vi enligt exemplen 1-3 börja att skriva så här:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]

En enklare form på uttrycket ovan får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

I formeln ovan ersätter vi \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \).


Funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall kan då definieras som:


\( \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)


Beteckningar:

Kärt barn har många namn:   Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet
Förändringskvot
Ändringskvot
Differenskvot


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://wiki.mattekollen.se/index.php?title=2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=24828"