Skillnad mellan versioner av "Potenser"

Det vanliga felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med att ta upphöjt till.

Hjärnan associerar \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) blind till multiplikationstabellen vilket ger \( \, 6 \, \). I själva verket är \( \, 2\,^3 \, \) ingen produkt utan en potens.

Ett uttryck av formen \( \, a\,^x \, \) läses \( \, {\color{Red} a} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} x} \, \) och kallas för  potens. \( \, a\, \) heter basen och \( \, x \, \) exponenten.

Om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( \, a^{\color{Red} x} \, \) definieras som:

\( a^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)

Så \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \, \) kan uppfattas som en förkortning för upprepad multiplikation av \( 2\, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger (jfr. upprepad addition).

Detta är ett exempel på en allmän lag, den första potenslagen. Det finns flera sådana:

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) rationella tal (bråktal) och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter \( \, x \, \) och \( \, y \). Men potenslagarna gäller även för negativa och rationella exponenter som behandlas längre fram. I formuleringen "negativ exponent" antas \( \, x > 0 \).

Påstående (Första potenslagen):

\( a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \)

Bevisidé:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\( a^{\color{Red} x} \cdot a^{\color{Red} y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x+y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x+y}}} \)

Påstående (Andra potenslagen):

\( \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \)

Bevisidé:

Potensens definition ger:

\( \displaystyle {a^{\color{Red} x} \over a^{\color{Red} y}} \; = \; \displaystyle {\overbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}^{{\color{Red} x}\;\times} \; \over \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} y}\;\times}} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x-y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x-y}}} \)

Det sista bråket har förkortats så mycket som möjligt.

Påstående (Lagen om nollte potens):

\( a^0 \; = \; 1 \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

Påstående (Lagen om negativ exponent, \( \, x > 0 \)):

\( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

Vi får påståendet, fast baklänges.

Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:

Jämför med:

Potenser med rationella exponenter är bara ett annat sätt att skriva (högre) rötter.

Påstående (\( n\)-te roten):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \):

Påstående (Rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Anta i fortsättningen att \( \, x \, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).

Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer \( \, x \, \) i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med rationell exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter.